חבורה סופיתבמתמטיקה ובפרט בתורת החבורות חבורה סופית היא חבורה בעלת מספר סופי של איברים. חקר החבורות הסופיות מהווה חלק חשוב בתורת החבורות. בעוד שעבור חבורות אין-ספיות בדרך כלל נדרש מבנה נוסף או לפחות תכונות נוספות כדי לקבל תורה מעניינת, יש תורה עשירה ועמוקה שתקפה עבור כל החבורות הסופיות. מיוןאין מיון מלא ושימושי[1] שמתאר את כל החבורת הסופיות. יש גם אינדיקציות רבות לכך שהדבר אינו אפשרי.[2] אולם, אפשר לתת מיון חלקי שמספק מידע רב על המבנה האפשרי של חבורות סופיות. הרחבה של חבורותצעד הראשון בהבנת המבנה של חבורה כללית הוא האבחנה שאם לחבורה יש תת חבורה נורמלית אז ניתן להבין הרבה על מתוך החבורה וחבורת המנה . במקרה כזה, החבורה נקראת הרחבה של החבורות ו - . חבורות פשוטות
אם היא החבורה טריוויאלית או ש - אז שיטה זאת להבנת מבנה החבורה נכשלת. בהתאם, אם ל - יש רק 2 תת-חבורות נורמליות ( והחבורה הטריוויאלית) אז לא ניתן להשתמש בשיטה זאת. במקרה כזה נקראת חבורה פשוטה. משפט ז'ורדן-הלדר
על ידי הפעלה חוזרת של הטיעון למעלה, קל לראות שבהנתן חבורה סופית ניתן למצא סדרה של חבורות כך ש: היא חבורה פשוטה. במילים אחרות כל חבורה סופית מתקבלת מהרחבה חוזרת של חבורות סופיות פשוטות. סדרת החבורות נקראת סדרת הרכב של והמנות נקראות גורמי הסדרה. משפט ז'ורדן-הלדר קובע כי אוסף הגורמים של סדרת הרכב תלוי רק בחבורה ולא בבחירת סדרת ההרכב. בהתאם, לגורמים אלה קוראים לעיתים גם הגורמים הפשוטים של לאור משפט זה ניתן לחלק את משימת המיון של חבורות סופיות לשתי משימות:
המשימה הראשונה היתה קשה ביותר, והיא הושלמה באופן מספק למדי במהלך המאה ה-20 ומהווה את משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות. משפט זה מהווה את אחת התוצאות המורכבות במתמטיקה. לאומת זאת, המשימה השניה קשה בהרבה, נחשב שלא ניתן להציג לה פיתרון כללי ושימושי.[2] אולם במקרים מסוימים ניתן לספק לה פתרונות חלקיים. משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות
משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות קובע שכל חבורה סופית פשוטה שייכת לאחת מבין ארבע הקבוצות הבאות, שמהן שלוש הראשונות אינסופיות:
יש חיתוך מסוים בין קבוצות 2 ו - 3, אך חיתוך זה סופי (שלוש חבורות) וידוע באופן מפורש.[3] המשפט ידוע בכך שהוא לקח זמן רב מאוד להוכחה. העבודה על המשפט נמשכה כמה עשרות שנים, השתתפו בה כמאה מתמטיקאים, והיא משתרעת על-פני 500 מאמרים בכתבי עת מקצועיים, הכוללים כ-15,000 עמודים. משפט המיון הוא משפט מרכזי בתורת החבורות הסופיות, והוא מהווה אחד ההשגים הגדולים ביותר של המתמטיקה במאה העשרים. חבורות אבליות
חבורה נקראת אבלית אם כל שני איברים בה מתחלפים (זאת אומרת ). מיון חבורות סופיות אבליות היא משימה פשוטה בהרבה. קל לראות שחבורות אבלית פשוטות הן בדיוק החבורות הציקליות מסדר ראשוני. גם המיון של חבורת אבליות סופיות כלליות אינו מסובך ומהווה מקרה פרטי של משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית. לפי משפט זה כל חבורה אבלית סופית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות סופיות. בדרך כלל, את אותה החבורה האבלית ניתן לכתוב במספר דרכים שונות בתור מכפלה של חבורות ציקליות סופיות. אולם, אם דורשים דברים נוספים מפרוק זה אז הוא נהיה יחיד. לדוגמה, כל חבורה אבלית סופית ניתן לכתוב באופן יחיד בתור מכפלה ישרה של חבורות ציקליות שסידרן הוא חזקת ראשוני. חבורות פתירות
חבורות פתירות (סופיות) הן חבורות (סופיות) שגורמיהן הפשוטים הם חבורות אבליות. החבורת האבליות הפשוטות קלות מאוד לתיאור - אלו הן החבורות הציקליות מסדר ראשוני. אולם קשה מאוד לתאר את כל ההרחבות שלהן. בהרבה מובנים, עיקר הקושי במיון כל ההרחבות של חבורת פשוטות בא לידי ביטוי כבר במיון החבורות הפתירות. חבורות נילפוטנטיות וחבורת p
החבורות הנילפוטנטיות מהוות מחלקה חשובה של חבורת פתירות. חבורה נילפוטנטית היא חבורה פתירה שקיימת עבורה סדרת הרכב מרכזית. זאת אומרת סדרת הרכב: כך שהגורם הוא תת-חבורה של המרכז של . במילים אחרות, חבורה נילפוטנטית היא חבורה המתקבלת מהרחבות מרכזיות (ראו להלן) חוזרות. המבנה של חבורות נילפוטנטיות קשור קשר הדוק למבנה של חבורת-. עבור מספר ראשוני , חבורת- היא חבורה שסדרה הוא חזקה של . הקשר בין חבורות נילפוטנטוית וחבורות- ניתן על ידי המשפט הבא: משפט: אם היא חבורה סופית אז הדברים הבאים שקולים:
הפרוק של חבורה נילפוטנטית למכפלה של חבורת- הוא יחיד. כדי להבין את המבנה של חבורות נילפוטנטיות די להבין את הבנה של חבורות-. חבורות- הן חבורות המתקבלות מהרחבות (חוזרת) של החבורה הציקלית מסדר - . למרות המבנה הפשוט של החבורה ולמרות העבדה שהרחבות כאלה חיבות להיות מרכזיות. תיאור מלא ושימושי של ההרחבות האלה באופן כללי נחשב למשימה בלתי אפשרית. אוסף חבורות ה- הוא עשיר מאוד. למעשה אחוז החבורות (עד סדר נתון ) שהן חבורת שואף ל-1 כאשר שואף לאינסוף. עץ מיון של חבורות סופיות
סוגים של הרחבותאומנם מיון מלא ושימושי של הרחבות אינו בנמצא, אבל יש סוגים של הרחבות הקלים יותר להבנה. מכפלה ישרההסוג הפשוט ביותר של הרחבה הוא מכפלה ישרה. בהינתן שתי חבורות המכפלה הישרה שלהן מסומנת ב - ומהוה את אוסף כל הזוגות של איברים שהראשון בהם הוא איבר ב- והשני הוא איבר ב-. המכפלה של זוגות כאלה מוגדרת על ידי מכפלה ישרה נקראת גם הרחבה טריוויאלית. מכפלה חצי-ישרה
חבורה נקראת מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורות שלה אם מתקיים:
המכפלות החצי-ישרות של ו- (עד כדי איזומורפיזם) ממוינות על-ידי פעלות של על (עד כדי יחס שקילות מתאים). ככלל, ככול ש - "יותר קמוטטיבית" כך יש יותר דרכים ל - לפעול עליה (עד כדי הצמדה ב-). לכן ככל של - יש ייותר גורמים קמוטטיביים, כך המכפלות החצי ישרות של ו - מאפשרות מגוון עשיר יותר של הרחבות. מכפלה חצי ישרה נקראת גם "הרחבה מתפצלת". מכפלת זר
מקרה פרטי של מכפלה חצי ישרה הוא מכפלת זר. במקרה זה היא מכפלה ישרה של מספר עותקים של חבורה והפעולה של על - היא על-ידי תמורות של עותקים אלו. אם כל הגורמים הפשוטים של חבורה הם לא אבליים אז ההרחבות בין הגורמים השונים דומות למדי למכפלות זר (אם כי לא בהכרח מתפצלות)[4] הרחבה מרכזיתבהינתן חבורה ותת-חבורה של המרכז של אומרים ש- היא הרחבה מרכזית של ע"י . ניתן למיין הרחבות מרכזיות באמצעות כלים של אלגברה הומולוגית. ההרחבות המרכזיות של חבורה ע"י חבורה אבלית ממוינות על ידי הקוהומולוגיה אם חבורה מושלמת, אז הבעיה נהיית פשוטה יותר. בפרט מתקיים . אם חבורה סופית אז החבורה היא חבורה סופית. חבורה זו נקראת כופל שור של . לחבורה סופית מושלמת יש הרחבה מרכזית ע"י כופל שור שלה שנקראת ההרחבה המרכזית האונברסלית של . כל הרחבה מרכזית מושלמת של היא מנה של בתת-חבורה של . כחלק ממשפט המיון לחבורות פשוטות סופיות מוינו גם כל ההרחבות המרכזיות של חבורות אלו. מיון של הרחבותניתן למיין את כל ההרחבות של 2 חבורות בכלים של אלגברה הומולוגית. מיון זה נקרא לעיתים תורת שרייר.[5] להלן תיאור של מיון זה: בהנתן הרחבה של חבורה עם חבורה אנו מקבלים פעולה של על (על ידי הצמדה). במילים אחרות אנו מקבלים הומומורפיזם כאשר היא חבורת האוטומורפיזמים של . קל לראות שהומומורפיזם מגדיר הומומורפיזם כאשר היא חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים של (ראו להלן) של . מכאן, כדי למיין את כל ההרחבות של ו- , יש לענות על 2 השאלות הבאות:
התשובה לשאלה הראשונה נתונה במונחים של איבר בחבורת הקוהומולוגיה . התשובה לשאלה השניה היא שהמיון נתון על ידי איברי חבורת הקוהומולגיה . [6] הערה: בשני המקרים הקוהומוליגיה היא ביחס לפעולה של על הנתונה על ידי ההומומורפיזם (כל איבר ב - מגדיר אוטומורפיזם של ). אומנם תיאור זה מפורש, אך במקרים רבים הוא רחוק מלתת תשובה מלאה. לדוגמה, אם ו- הם מרחבים וקטוריים מעל שדה סופי אז חישוב (ביחס לפעולה הטריוויאלית) שקול לבעיה פראית באלגברה ליניארית, כך שאפילו בעיית המיון של הרחבות מרכזיות של חבורות אבליות היא פראית.[2] כמו כן, אפילו המקרה של מכפלה חצי ישרה (או אפילו מכפלת זר), יכול להיות מאוד קשה למיון. לדוגמה, בעיית המיון של כל הפעולות של על קבוצה סופית מכליה את בעיית המיון של תתי החבורת של עד כדי הצמדה, שבתורה, במקרה ש- היא חבורת התמורות, מכילה את בעיית המיון של כל החבורות.[7]
מבנהחבורת האוטומורפיזמים של חבורה
אחת הבניות הבסיסיות של חבורה היא חבורת האוטומורפיזמים של אובייקט מתמטי . במקרה ש- הוא חבורה סופית, קל לראות שחבורה זאת היא סופית. לכול חבורה יש הומומורפיזם טבעי הנתון על ידי פעולת ההצמדה (כל איבר עבר לאוטומורפיזם המתקבל מההצמדה ב- ). הגרעין של ההומומורפיזם הזה הוא המרכז של . התמונה של ההומומורפיזם הזה נקראת חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של ומסומנת ב- . ממשפט האיזומורפיזם הראשון נובע ש- . החבורה נקראת חבורת האוטומורפיזמים החצוניים של ומסומנת ב - . החבורה היא הרחבה של - עם - . הרחבה זאת מהווה את אחת הדוגמאות החשובות להרחבה של חבורות (ראו להלן). הרחבה זאת לא תמיד מתפצלת (לדוגמה עם היא החבורת הסימטרית על 6 איברים). אם היא חבורה סופית פשוטה אז יודעים לתאר במפורש את - ו- , ובפרט יודעים לתאר מתי ההרחבה הנ"ל מתפצלת.[10] כמו כן, ידוע שכש- היא חבורה סופית פשוטה אז תמיד פתירה (כמעט בכל המקרים היא קומוטטיבית).[11] תתי חבורות קנוניותפסקה זו נמצאת בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך פסקה זו בטרם תוסר ההודעה הזו. אם הפסקה לא נערכה במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך את הפסקה, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחת המשתמש. פירוק ז'ורדן-הולדר של חבורה סופית אינו יחיד. עם זאת, ישנן מספר סדרות נורמליות קנוניות (זאת אומרת סדרות מהסוג כך שתתי החבורות מתוארות באופן קנוני) שנותנות דרכים קנוניות לנתח את המרכיבים של חבורה נתונה. על מנת להגדיר סידרה נורמלית קנונית עבור חבורה , די להגדיר תת-חבורה (נורמלית, לא טריוויאלית) קנונית של . לאחר מכן יש להפעיל אותה בחירה קנונית על ולהמשיך כך עד שמגיעים לחבורה טריוויאלית. באופן כללי, לא ניתן לקבל בצורה כזאת סידרת הרכב ל - . זאת מכיון שחבורת תתי-חבורות קנוניות הן תמיד קרקטריסטיות (זאת אומרת שהן אינווריאנטיות לגבי אוטומורפיזמים של ), ולא תמיד יש סידרת הרכב שבנויה מחבורת קרקטריסטיות (לדוגמה עבור חבורת קליין אין סדרה כזאת). אולם ניתן לקבל סדרות נורמליות עם מנות קלות לנתוח בהרהבה מהחבורה המקורית. תשתית של חבורה
אחת הדרכים להגדיר תת-חבורה קנונית של כל חבורה היא התשתית. מושג זה הוא מקרה פרטי של מושג התשתית באלגברה המגדיר בהקשרים רבים תת-אובייקט קנוני. התשתית של חבורה היא התת-חבורה הנוצרת על ידי תת-חבורות נורמליות מינימליות של . קל לראות שהתשתית של היא גם המכפלה של תת-החבורות הנורמליות מינימליות של ושחבורת אלו הן פשוטות. התשתית של חבורה מסומנת בדרך כלל ב - . קל לiראoת שאם סופית ולא טריוויאלית אז התשתית שלה לא טריוואלית. מכאן, שאפשר להשתמש בתשתית כדי להגדיר סידרה נורמלית עבור . המנות העוקבות של סידרה זאת יהיו מכפלות של חבורות פשוטות, כך שקל להפוך סידה זאת לסידרת הרכב על ידי בחירת סדר על החבורת הפשוטות האלה. סידרה זאת, כמובן איננה קנונית. הסידרה הנורמלית הנתונה על ידי התשתיות מהווה כלי חשוב לחקר חבורות סופיות. יתרונה בכך שהיא מוגדרת עבור כל חבורה סופית וקרובה להיות סידרת הרכב. חסרונה הוא שהיא לא מספקת הבנה של ההרחבות בין המנות העוקבות. לכן, במקרים רבים מעדיפם להשתמש בתת-חבורת קנוניות אחרות. המרכז של חבורה
המרכז של חבורה הוא אוסף האיברים בחבורה המתחלפים עם כל איבר בחבורה. המרכז של חבורה מסומן בדרך כלל ב - . לא לכל חבורה יש מרכז לא טריביאלי. לכן לא לכל חבורה נויתן לבנות סידרת הרכב ממצה על ידי שימוש במרכז. חבורה חבורה נילפוטנטית אםם הסידרה המתקבלת על ידי הבנוסחה הרקורסיבית (כאשר מתחילים מ-) מגיעה לחבורה הטריביאלית. במלים אחרות אם שימוש חוזר במרכז נותן סידרה נורמלית ממצה עבור . המנות העוקבות של סידרה זאת הן אבליות. החבורה הנגזרת
הרדיקל ה-pבהנתן מספר ראשוני p, הרדיקל ה-p של חבורה סופית מוגדר להיות תת-חבורת ה-p הנורמלית המקסימלית של . קל לראות שמקסימום זה יחיד. ממשפטי סילו נובע שהרדיקל ה-p של הוא החיתוך של כל חבורת ה-p-סליו של . נהוג לסמן את הרדיקל ה-p של ב - . מושג הרדיקל ה-p שימושי בעיקר עבור חבורת סופיות מטיפוס לי כשבוחרים את p להיות מציין השדה אשר באמצעותו מוגדרת החבורה. במקרה כזה, הרדיקל ה-p מקביל לרדיקל האוניפוטנטי של החבורה האלגברית המתאימה. לא ניתן להשתמש ברדיקל ה-p כדי ליצור סידה נורמלית ל - (באורך גדול מ - 2). זאת מיכייון ש: לאומת זאת, הרדיקל ה-p, מאפשר להציג את בתור הרחבה של (שהיא חבורה עם רדיקל -p טריוויאלי) ו - שהיא חבורת p. הרחבה זו מקבילה לפירוק לוי של חבורות אלגבריות ליניאריות. תת-חבורת פיטינגתת-חבורת פיטינג של חבורה סופית מוגדרת להיות תת-החבורה הנלפוטנטית הנורמלית המקסימלית של . קל לראות שמקסימום זה יחיד. לעיתים קוראים לתת-חבורת פיטינג "הרדיקל הנילפוטנטי". נהוג לסמן את תת-חבורת פיטינג של ב - או . ניתן להראת כי כאשר רץ על כל הראשוניים. חברת פיטינג יכולה להיות טריוויאלית (לדוגמה אם היא חבורה פשוטה לא אבלית). אולם אם פתירה (ולא טריוואלית) אז חבורת פיטינג לא טריוויאלית. למעשה, היא פתירה אםם אפשר לקבל, באמצעות תת-חבורות פיטינג סידרה נורמלית עבור . במקרה כזה, הגורמים של הסידרה הנורמלית יהיו חבורות נילפוטנטיות. לתת-חבורת פיטינג יש תפקיד חשוב בהבנת המבה של חבורות פתירות בזכות משפט פיטינג הקובע כי אם פתירה אז המרכז של מוכל ב -.[12] משפט זה, מאפשר (במקרה ש - פתירה) לשכן את לתוך בצורה שתכיל את . במילם אחרות, עד כדי המרכז של החבורה תהיה הרחבה של ותת-חבורה של . ניתן לומר שמשפט פיטינג מאפשר להבין את המבנה של כל חבורה פתירה (ברמה מסוימת) באמצעות חבורת האוטומורפיזמים של חבורה נילפוטנטית. תת-חבורת פראטיניהשכבה
תת-חבורת פיטינג לא יעילה כאשר החבורה איננה פתירה. כדי לחקור את המבנה של חבורות שאינן פתירות פותח המושג של השכבה של חבורה. מושג זה משלים את חבורת פיטינג בכך שהשכבה רחוקה מאוד מלהיות פתירה או נילפוטנטית. מושג השכבה מבוסס על המושג חבורה סופית פשוטה למחצה שבתורו מבוסס על המושג חבורה סופית כמעט פשוטה. חבורה סופית כמעט פשוטה היא הרחבה מרכזית מושלמת של חבורה פשוטה סופית לא אבלית. חבורה סופית נקראת חבורה פשוטה למחצה אם קימות לה תתי-חבורות כך ש:
השכבה של מוגדרת להיות התת-חבורה הפשוטה למחצה המקסימלית של . היא מסומנת ב - . בדומה לחבורת פיטינג, גם השכבה יכולה להיות טריוויאלית (למשל אם פתירה). תת-חבורת פיטינג המוכללתבעוד שתת-חבורות פיטינג וגם השיכבה יכולות לטריוויאליות[דרושה הבהרה] עבור חבורה סופית כללית, השילוב שלהן לא יכול. תת-חבורת פיטינג המוכללת מוגדרת להיות המכפלה של תת-חבורת פיטינג והשיכבה.[13] ניתן להראות שתת-חבורת פיטינג והשיכבה מתחלפות. ומכאן שתת-חבורת פיטינג המוכללת היא אכן תת-חבורה. נהוג לסמן את תת-חבורת פיטינג המוכללת של ב - . לתת-חבורת פיטינג המוכללת יש תפקיד חשוב בהבנת המבה של חבורת סופיות בזכות משפט בנדר הקובע כי המרכז של מוכל ב -.[14] משפט זה, מאפשר לשכן את לתוך בצורה שתכיל את . במילם אחרות, עד כדי המרכז של החבורה היא הרחבה של ותת-חבורה של . ניתן לומר שמשפט בנדר מאפשר להבין את המבנה של כל חבורה סופית (ברמה מסוימת) באמצעות חבורת האוטומורפיזמים של מכפלה (מתחלפת) של חבורה פשוטה למחצה עם חבורה נילפוטנטית. לתיאור זה של חבורה כללית באמצעות תת-חבורת פיטינג המוכללת שלה תפקיד משמעותי במשפט המיון לחבורות פשוטות סופיות.[15]
משפטים על חבורות סופיותכאמור ישנם משפטים רבים התקפים לחבורות סופיות. להלן מספר דוגמאות:
הערות שוליים
|