מבוא לניתוח האינסוף

מבוא לניתוח האינסוף
Introductio in analysin infinitorum

מידע כללי
מאת	לאונרד אוילר
שפת המקור	לטינית
סוגה	ספרות מדעית
נושא	אנליזה מתמטית
הוצאה
הוצאה	Marc Michel Bousquet
מקום הוצאה	לוזאן
תאריך הוצאה	1748

מבוא לניתוח האינסוף (בלטינית: Introductio in analysin infinitorum) הוא חיבור בעל שני כרכים של המתמטיקאי לאונרד אוילר, שהניח רבים מהיסודות לאנליזה מתמטית. הוא נכתב בלטינית ופורסם ב-1748, והכיל 18 פרקים בכרך הראשון ו-22 פרקים בכרך השני. היסטוריון המדע Carl Boyer השווה בין ההשפעה של חיבורו זה של אוילר לזו של היסודות של אוקלידס, וקרא ליסודות "הטקסט המתמטי החשוב ביותר של העת העתיקה" ולחיבורו של אוילר "הטקסט החשוב ביותר של הזמנים המודרניים". Boyer כתב גם:

"האנליזה של אוילר קרובה לגישה המודרנית החוקרת פונקציות באמצעות תהליכים אינסופיים, במיוחד באמצעות טורים אינסופיים. אני מטיל ספק בכך שקיים חיבור מדעי אחר למטרות חינוך אשר מכיל כמות כה נכבדה של עבודה מקורית ששרדה בקורסים מתמטיים בימינו... החיבור ניתן לקריאה בקלות יחסית על ידי התלמיד המודרני... זהו האב-טיפוס של הטקסט המתמטי המודרני".

התרגום הראשון שלו לאנגלית נעשה ב-1988 על ידי ג'ון ד. בלאנטון. התרגום השני שלו, על ידי איאן ברוס, זמין ברשת.

הפרק הראשון הוא על מושגי היסוד של משתנים ופונקציות. פרק 4 מציג טורים אינסופיים באמצעות פונקציות רציונליות. לפי Henk Bos:

"מבוא לניתוח האינסוף מיועד להיות סקירה של מושגים ושיטות מאנליזה וגאומטריה אנליטית הקודמים ללימוד החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. אוילר הפך את הסקירה הזאת לתרגיל מאלף בהצגת מספר רב ככל האפשר של מושגים ושיטות מאנליזה מבלי להשתמש בגזירה או אינטגרציה. הוא הציג את הפונקציות הטרנסצנדנטיות האלמנטריות, הלוגריתם, הפונקציה האקספוננציאלית, והפונקציות הטריגונומטריות וההפוכות להן מבלי להישען על חשבון אינטגרלי – דבר שהוא בבחינת הישג, שכן הלוגריתם קושר באופן מסורתי לתרבוע ההיפרבולה והפונקציות הטריגונומטריות לאורך הקשת של המעגל."

אוילר השיג זאת באמצעות התייחסות לפונקציה המעריכית a^x לפי בסיס שרירותי a מהמספרים הממשיים החיוביים. הוא ציין שהפונקציה המוגדרת בדרך זאת אינה פונקציה אלגברית של x, אלא פונקציה טרנסצנדנטית. בעבור a > 1 הפונקציות הללו הן מונוטוניות עולות ומהוות התאמה חד-חד ערכית ועל מהישר הממשי למספרים הממשיים החיוביים. לאחר מכן הוא מכנה בפרק 6 לכל בסיס a את הפונקציה ההפוכה לפונקציה המעריכית "הלוגריתם לפי בסיס a". בפרק 7, אוילר מגדיר את e כמספר אשר הלוגריתם ההיפרבולי שלו הוא 1. הרפרנס כאן הוא לגרגואיר דה סנט וינסנט אשר ערך תרבוע של ההיפרבולה y = 1/x באמצעות תיאור של הלוגריתם ההיפרבולי. בחלק 122 הוא מתייג את הלוגריתם לפי בסיס e "כלוגריתם הטבעי או הלוגריתם ההיפרבולי... ומכיוון שתרבוע ההיפרבולה ניתן לביטוי באמצעות הלוגריתמים הללו". כאן הוא מביא גם את הטור האינסופי:

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{z^{k} \over k!}=1+z+{z^{2} \over 2}+{z^{3} \over 6}+{z^{4} \over 24}+\cdots }$

אז בפרק 8 אוילר מציג את הפונקציות הטריגונומטריות הקלאסיות "כפונקציות טרנסצנדנטיות הנובעות מהמעגל". הוא מציג את מעגל היחידה, וגוזר את נוסחת אוילר באנליזה מרוכבת. פרק 9 עוסק בגורמים טרינומיים של משוואות פולינומיות. פרק 16 עוסק בחלוקות של מספרים, נושא מרכזי בתורת המספרים. שברים משולבים נידונים בפרק 18.

פרק 1: על סוגי הפונקציות.

פרק 2: טרנספורמציות של פונקציות.

פרק 3: טרנספורמציות של פונקציות על ידי הצבות.

פרק 4: פיתוח של פונקציות על ידי טורים אינסופיים.

פרק 5: פונקציות של שני משתנים או יותר.

פרק 6: בנוגע לפונקציות אקספוננציאליות או לוגריתמיות.

פרק 7: פיתוח פונקציות לוגריתמיות ואקספוננציאליות לטורים.

פרק 8: על גדלים טרנסצנדנטיים הנגזרים מהמעגל.

פרק 9: בנוגע לחקירת גורמים טרינומיים.

פרק 10: בנוגע לשימוש בגורמים שנמצאו מקודם לצורך הגדרת סכומים של טורים אינסופיים.

פרק 11: בנוגע למכפלות אינסופיות של סינוסים.

פרק 12: בנוגע לפיתוח של פונקציות שבריות.

פרק 13: על טורים המוגדרים על ידי יחס נסיגה.

פרק 14: על הכפלה וחלוקה של זוויות.

פרק 15: טורים הנגזרים מפיתוח של גורמים.

פרק 16: בנוגע לחלוקות של מספרים.

פרק 17: השימוש בטורי נסיגה לצורך חקירת שורשים של משוואות.

פרק 18: שברים משולבים.

הנושאים שנידונים בספר הראשון כוללים: הגדרת הפונקציה וההבחנה בין פונקציות רב-ערכיות ופונקציות חד-ערכיות ובין פונקציות אי-זוגיות לפונקציות זוגיות (בפרק 1). נידונות בו בעיות של פירוק פולינומים לגורמים הקשורות למשפט היסודי של האלגברה, טכניקות וזהויות אנליטיות שונות הכוללות: הצבות, טורים אינסופיים, פונקציות אקספוננציאליות ולוגריתמים, פיתוח לשברים חלקיים, זהויות טריגונומטריות הקשורות למכפלות וסכומים ארוכים של סינוסים של זוויות שונות, כמו גם תוצאות חשובות ומתקדמות יותר כגון חישוב הערכים הטבעיים הזוגיים של פונקציית זטא ${\displaystyle \zeta (2k)}$ (בעיית בזל המוכללת), זהויות על מכפלות וטורים אינסופיים, ותוצאות רבות על חלוקות של מספרים. חלק גדול מהפרקים האחרונים של הספר הראשון מוקדש לפיתוח הטכניקות האנליטיות של פונקציות יוצרות ושברים משולבים.

הספר השני עוסק בעיקר במיון עקומים אלגבריים: אוילר עוסק בו בתאוריה שמאחורי חתכי חרוט וממשיך את מיון העקומים המעוקבים של ניוטון - בין היתר הוא ממיין עקומים ממעלה רביעית ומפשט את המיון של ניוטון (של עקומים מעוקבים) באמצעות שלל הגדרות ומושגים חדשים.

• לאונרד אוילר

מדיה וקבצים בנושא מבוא לניתוח האינסוף בוויקישיתוף