משלים (מתמטיקה)

בתורת הקבוצות, משלים של קבוצה ${\displaystyle G}$ (באנגלית: ${\displaystyle G}$ complement of set) הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-${\displaystyle G}$. זאת ביחס לקבוצה ${\displaystyle U}$ כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של ${\displaystyle U}$.

על-פי הגדרה זו, האיחוד של קבוצת ${\displaystyle G}$ והמשלים של ${\displaystyle G}$ הוא הקבוצה ${\displaystyle U}$, ואילו החיתוך ביניהן הוא קבוצה ריקה.

תהא ${\displaystyle U}$ קבוצה, ותהא ${\displaystyle G\subseteq U}$ קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של ${\displaystyle G}$ ב-${\displaystyle U}$ יוגדר כך: ${\displaystyle G^{\complement }=U-G}$. סימונים מקובלים נוסף למשלים הם ${\displaystyle G',\ \complement _{U}G,\ {\overline {G}},\ -G}$. עם זאת, הסימון ${\displaystyle {\overline {G}}}$ מתנגש לעיתים עם שימושים אחרים של הסימון בקו עליון, ולכן מקובל להימנע ממנו.

תהא קבוצה ${\displaystyle N}$ המכילה את כל המספרים הטבעיים 1,2,3,....

תהא קבוצה ${\displaystyle A}$ המכילה רק את המספרים הטבעיים הזוגיים 2,4,6.... הקבוצה ${\displaystyle B}$ היא המשלים של ${\displaystyle A}$ ביחס ל-${\displaystyle N}$ אם היא מכילה את המספרים המוכלים ב-${\displaystyle N}$ אך לא ב-${\displaystyle A}$, כלומר את המספרים הטבעיים האי זוגיים 1,3,5....

ניתן לראות כי החיתוך של ${\displaystyle A}$ עם ${\displaystyle B}$ נותן קבוצה ריקה, בעוד שאיחודן יוצר את הקבוצה ${\displaystyle N}$.

${\displaystyle A^{\complement \complement }=A}$, כלומר המשלים של המשלים של קבוצה הוא הקבוצה עצמה.

${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\emptyset }$, כלומר, חיתוך קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה הריקה.

${\displaystyle A\cup A^{\complement }=U}$, כלומר, איחוד קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה האוניברסלית.

${\displaystyle U^{\complement }=\emptyset }$, כלומר המשלים של הקבוצה האוניברסלית הוא הקבוצה הריקה.

${\displaystyle \emptyset ^{\complement }=U}$, כלומר המשלים של הקבוצה הריקה הוא הקבוצה האוניברסלית.

כללי דה מורגן קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים". בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:

${\displaystyle (A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }}$

${\displaystyle (A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }}$

• משלים, באתר MathWorld (באנגלית)