נולד בכווית סיטי ב-1929 לאמיר כווית אחמד אל-ג'אבר א-סבאח ולאשתו העשירית, מונירה עות'מאן א-סעיד אל-עיאר (منيرة عثمان السعيد العيار). סבאח הוא אחיו של האמיר ג'אבר אל-אחמד אל-ג'אבר א-סבאח, ששלט בכווית בשנים 1977–2006, והוא שמינה אותו ב-2003 לתפקיד ראש ממשלת כווית[1]. לפני כן כיהן כשר החוץ למשך 40 שנה (1963–2003).
לסבאח מיוחס תפקיד ביצירת פת"ח - התנועה לשחרור לאומי של פלסטין, באוקטובר 1959 בעיר כווית. כמה מהמנהיגים הראשונים של פתח, ואחר כך ארגון הארגון לשחרור פלסטין, שהוקם גם בכווית ב-1964, היו מקורבים לסבאח, כמו ח'אלד אל-חסן, שהיה יליד חיפה וברח לכווית ב-1952[2].
ב-2010 עשרות מפגינים בכווית נעצרו בשל ביקורת על סבאח. מחלקת המדינה האמריקנית אמרה שיש לה חששות לגבי המקרה של הבלוגר והעיתונאי הכוויתי מוחמד עבדול-קאדר אל-ג'אסם, שעמד למשפט על כך שמתח ביקורת על משפחת א-סבאח השלטת, והאשים את ראש הממשלה נאצר אל-סבאח בניהול כושל, שחיתות. הוא עמד בפני עד 18 שנות מאסר אם יורשע[6].
בינואר 2013 נידון איאד אל-הירבי לשנתיים מאסר בגין ציוץ בטוויטר: "אנו קוראים לממשלת כווית לעמוד בהסכמים בינלאומיים שחתמה על כיבוד זכויות האדם. כאומה, כווית חייבת לפעול להרחבת חירויות, לא להגביל אותם"[7].
אל-סבאח כלא כמה מחברי פרלמנט בשל ביקורת פומבית עליו. בפברואר 2013 גזר בית משפט בכווית שלושה חברי פרלמנט לשעבר לשלוש שנות מאסר בעבודת פרך בגין העלבת סבאח, ודן אדם אחר לחמש שנות מאסר בגין העלבת סבאח. באותה עת, יותר מ-300 אנשים נעצרו בכווית באשמת העלבתו[8].
בשנת 2016, גזר בית משפט בכווית על 16 בני אדם לשנתיים מאסר לאחר שנמצאו כשהם מפיצים מחדש נאום מ-2012 של מנהיג האופוזיציה מוסלם אל-ברק, אשר מתח ביקורת על סבאח. אל-ברק, חבר פרלמנט לשעבר, נידון לשנתיים מאסר ב-2015[9].