Lie-csoport

A matematikában a Lie-csoport egy olyan csoport, amely egyszerre egy sima sokaság, és a csoportművelet tetszőlegesen sokszor differenciálható.

Egy sokaság (mint például a kör vagy a tórusz) egy olyan topologikus tér, amely lokálisan egy euklidészi térre hasonlít, a csoport pedig egy olyan struktúra, mely magában foglal egy halmazt és egy, a halmazon definiált kétváltozós műveletet, amely asszociatív (átzárójelezhető) és invertálható, azaz minden csoportelemnek van egy inverz eleme.

A Lie-csoportok alkalmasak a folytonos szimmetriák modellezésére, így a modern matematikában és fizikában rendkívüli fontossággal bírnak.

A Lie-csoportokat a norvég Sophus Lie után nevezték el, aki a folytonos transzformációcsoportok elméletének alapjait fektette le. Először ilyen struktúrákat olyan mátrixcsoportok tanulmányozásával találtak, amelyek az ${\displaystyle n\times n}$ invertálható mátrixok csoportjának (${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ vagy ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$) részcsoportjai. Ezeket a csoportokat azóta klasszikus csoportoknak hívják, a Lie-csoportok elmélete pedig a matematika számos más területére is kiterjedt.

Minden Lie-csoport automatikusan egy topologikus csoport, mivel a csoportműveletek (az inverziót beleértve) folytonosak. Következtetésképp, mivel minden (nem feltétlenül Hausdorff) differenciálható sokaság teljesíti az első szétválaszhatósági axiómát (T₁), minden Lie-csoport automatikusan Hausdorff.

Lie-csoportnak nevezünk egy olyan ${\displaystyle G}$ csoportot, amely egyidejűleg egy sima sokaság, és a kétváltozós asszociatív csoportművelet (szorzás)

${\displaystyle \mu :G\times G\to G,\quad \mu (x,y)=xy}$

tetszőlegesen sokszor differenciálható. Az inverzfüggvény-tétel következményeképp minden Lie-csoport inverzió művelete:

${\displaystyle \nu :G\to G,\quad \nu (x)=x^{-1}}$

is tetszőlegesen sokszor differenciálható.

• A valós vagy komplex számok halmaza összeadással (${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ vagy ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$) egy Lie-csoport.
• A komplex fázisok, azaz olyan komplex számok, melyek abszolút értéke egy, a szorzással együtt összefüggő Lie-csoportot (${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$) alkotnak, más néven körcsoportnak hívjuk.
• A 2x2-es valós invertálható mátrixok halmaza:

${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\,\det A=ad-bc\neq 0\right\}}$

a mátrixszorzással együtt egy olyan négydimenziós Lie-csoportot alkot, amely nem kompakt és nem összefüggő.

• A forgatást reprezentáló mátrixok csoportját a következőképp lehet egy ${\displaystyle \varphi }$ forgásszöggel parametrizálni:

${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\,\varphi \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \right\}.}$

Ez a csoport a ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )}$ részcsoportja, továbbá egy kompakt, összefüggő egydimenziós Lie-csoport, amely diffeomorf a körhöz.

• A speciális relativitáselméletben hasznos Minkowski- és Poincaré-csoport is Lie-csoport.

Már ismert Lie-csoportok segítségével további Lie-csoportok találhatóak:

• Két Lie-csoport Descartes-szorzata egy Lie-csoport
• Egy adott Lie-csoport bármely részcsoportja, amely topológiai értelemben egy zárt halmaz, Cartan tétele szerint egy Lie-csoport.
• Egy adott Lie-csoport egy zárt normálosztójával vett faktorhalmaza automatikusan egy Lie-csoport.
• Egy összefüggő Lie-csoport univerzális fedése egy Lie-csoport. Fontos megjegyezni, hogy egy adott differenciálható sokaság minden fedése egyaránt egy differenciálható sokaság, viszont azzal, hogy az univerzális fedést választjuk, így a csoportaxiómák teljesülésének is eleget teszünk.

Lie-algebrának nevezünk egy ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ vektorteret egy olyan kétváltozós művelettel ${\displaystyle [.,.]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$, amely bilineáris, antikommutatív és a Jakobi-azonosságnak eleget tesz.

Adott ${\displaystyle G}$ Lie-csoport ${\displaystyle e}$ neutrális elemében vett tangens tere egy vektortér, általános jelölése pedig ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=T_{e}G}$. A balról szorzás ${\displaystyle L_{g}:G\to G,\,h\mapsto gh}$ tangens leképezése a neutrális elemben ${\displaystyle T_{e}L_{g}:{\mathfrak {g}}\to T_{g}G}$ egy lineáris izomorfizmus, mivel a balról szorzás egy Lie-csoportban egy diffeomorfizmus. Legyen adott ${\displaystyle g\in G}$, akkor bármely ${\displaystyle v\in {\mathfrak {g}}}$ vektorra a következőképp definiált leképezés:

${\displaystyle L^{v}:G\to TG,\quad L^{v}(g)=T_{e}L_{g}(v)}$

egy sima vektormező. Mivel a vektormezőkön definiált Lie-zárójel (azaz ${\displaystyle [.,.]}$) automatikusan teljesíti a szükséges tulajdonságokat, ezért a ${\displaystyle G}$ Lie-csoport Lie-algebrája a ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$ vektortér a következő művelettel minden ${\displaystyle v,w\in {\mathfrak {g}}}$ vektorra:

${\displaystyle [v,w]:=[L^{v},L^{w}](e)}$.

Egy Lie-csoport Lie-algebrája a neutrális elem környezetében teljes mértékben meghatározza a csoport struktúráját. Régebbi elnevezések "infinidezimális csoport"ként utalnak rá, ugyanis elemei a Lie-csoport olyan elemeinek felelnek meg, amelyek "infinidezimálisan közel" vannak a neutrális elemhez.

A ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ Lie-csoport Lie-algebrája a mátrixalgebra ${\displaystyle \operatorname {M} (n,\mathbb {C} )}$, ahol az exponenciális leképezés a következőképp van definiálva adott ${\displaystyle X}$ mátrixra:

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots }$.

Amennyiben egy ${\displaystyle G}$ csoport a ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ zárt részcsoportja, akkor ${\displaystyle G}$ automatikusan egy Lie-csoport, melynek Lie-algebrája a következő:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\left\{X\in M(n;\mathbb {C} )\mid e^{tX}\in G\,\,\forall t\in \mathbb {R} \right\}.}$

Az exponenciális leképezés ezen definíciója viszont nem alkalmazható olyan Lie-csoportokra, melyek nem mátrixcsoportok, így egy általánosabb konstrukcióra van szükség.

Egy adott ${\displaystyle G}$ Lie-csoport ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ Lie-algebráján bármely ${\displaystyle v}$ vektorra bizonyítható egy egyedi egyparaméteres részcsoport ${\displaystyle c:\mathbb {R} \to G}$ létezése, amelyre ${\displaystyle c'(0)=v}$. Egyparaméteres részcsoport alatt egy olyan sima leképezést értünk, melyre igaz a következő:

${\displaystyle c(s+t)=c(s)c(t)}$

minden valós ${\displaystyle s}$-re és ${\displaystyle t}$-re, ahol az egyenlet jobb oldalán található szorzás a Lie-csoport csoportművelete. Az általánosított exponenciális leképezést pedig a következőképpen definiáljuk:

${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G,\quad \exp(v)=c(1)}$.

Az exponenciális leképezés ezáltal tetszőlegesen sokszor differenciálható és egy diffeomorfizmus a Lie-algebrában a ${\displaystyle 0\in {\mathfrak {g}}}$ egy környezete és a ${\displaystyle e\in G}$ egy környezete között. Ez a leképezés a valós számok halmazán is használt exponenciális függvény általánosítása.

Egy Lie-csoportban létezik az egységelemnek egy olyan környezete, melyen a csoportművelet (szorzás) teljes mértékben meghatározható a csoporthoz tartozó Lie-algebra Lie-zárójelével. Ezt az exponenciális leképezés segítségével a Baker-Campbell-Hausdorff formula adja meg: létezik a Lie-algebra neutrális elemének egy olyan környezete, melyben bármely ${\displaystyle X}$-re és ${\displaystyle Y}$-ra igaz:

${\displaystyle \exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right).}$

Amennyiben a ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ kommutál, a képlet egyszerűbb alakot ölt: ${\displaystyle \exp(X)\,\exp(Y)=\exp(X+Y)}$.

A Baker-Campbell-Hausdorff formula segítségével bizonyítható, hogy bármely kétszer differenciálható Lie-csoport automatikusan valós analitikus, tehát létrehozható egy olyan sima struktúra, melyen bármely ${\displaystyle x}$ és ${\displaystyle y}$ térképre a ${\displaystyle y\circ x^{-1}}$ leképezés valós analitikus.

Amennyiben ${\displaystyle G}$ és ${\displaystyle H}$ Lie-csoportok, minden sima ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ csoporthomomorfizmust Lie-csoport homomorfizmusnak nevezünk. Csoporthomomorfizmus alatt azt értjük, hogy a leképezés megtartja a csoportművelet szerkezetét, azaz minden ${\displaystyle g,h\in G}$ csoportelemre igaz ${\displaystyle \varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)}$. Az exponenciális leképezés tulajdonságaiból kiindulva bizonyítható, hogy bármely két Lie-csoport közötti folytonos csoporthomomorfizmus automatikusan sima.

Bármely Lie-csoport homomorfizmus neutrális elemben vett tangense egy Lie-algebra homomorfizmus, tehát egy olyan lineáris leképezés, amely megtartja a Lie-zárójelet.

Két Lie-csoportot izomorfnak nevezünk, amennyiben létezik közöttük egy bijektív homomorfizmus, melynek inverze is egy Lie-csoport homomorfizmus, tehát egy olyan diffeomorfizmus, mely egyszerre egy csoporthomomorfizmus. Az eddig említettek következménye, hogy egy folytonos bijektív csoporthomomorfizmus két Lie-csoport között akkor diffeomorfizmus (tehát Lie-csoport izomorfizmus), ha az értelmezési tartomány szeparálható.

Lokális Lie-csoport homomorfizmusnak nevezünk egy olyan sima leképezést, mely két Lie-csoport neutrális elemének környezete között definiált és ezekben a környezetekben ugyanúgy megtartja a csoportműveletet. Két Lie-csoport lokálisan izomorfnak nevezünk, ha létezik közöttük egy olyan lokális Lie-csoport homomorfizmus, ami ezen felül egy diffeomorfizmus és az inverze is egy Lie-csoport homomorfizmus.

Lie első tétele azt mondja ki, hogy két lokálisan izomorf Lie-csoport Lie-algebrái izomorfak, míg Lie második tétele szerint két izomorf Lie-algebrához tartozó Lie-csoport lokálisan izomorf. Ezen tételek szerint egy Lie-csoport globális struktúráját általánosságban nem határozza meg a Lie-algebra. A fizikában ismert egy fontos példa Lie fundamentális tételei kapcsán, ugyanis az SU(2) és SO(3) Lie-csoportok Lie-algebrái izomorfak,^[1] viszont a Lie-csoportok maguk nem izomorfak, ugyanis SU(2) egyszerűen összefüggő (azaz minden hurok folytonosan összehúzható egy pontba), míg SO(3) nem.^[2]

Ado tétele kimondja, hogy bármely véges dimenziós valós Lie-algebra izomorf egy Lie-mátrixalgebrához. Ennek következménye Lie harmadik fundamentális tétele, miszerint minden véges dimenziós valós Lie-algebra egy lineáris Lie-csoport Lie-algebrája.

Fontos kutatási terület Lie-csoportoknak úgy nevezett ábrázolásait (más néven reprezentációit) vizsgálni, melyek azt fejezik ki, hogy egy adott Lie-csoport hogyan hat egy vektortérre. Egy ${\displaystyle n}$-dimenziós ${\displaystyle V}$ vektortér esetén a ${\displaystyle G}$ Lie-csoport komplex ábrázolása egy Lie-csoport homomorfizmus ${\displaystyle \Pi :G\to \operatorname {GL} (V)}$, ahol ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ identifikálható ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$-vel. Sok esetben az egyszerűség kedvéért ${\displaystyle V}$-t nevezik ábrázolásnak.

Az ábrázoláselméletnek a fizikában is nagy jelentősége van: a hidrogénatom (vagy bármely olyan atom vagy ion, melynek egy vegyértékelektronja van) esetében az időfüggetlen Schrödinger-egyenlet megoldása egy háromdimenziós problémából egydimenziós problémává egyszerűsíthető, amennyiben felismerjük, hogy a rendszer Hamilton-operátora forgásszimmetrikus (tehát ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$-szimmetrikus). Ez önmagában nem jelenti azt, hogy az operátor sajátállapotai forgásszimmetrikusak lennének, csupán azt, hogy a Schrödinger-egyenlet fix energiájú megoldásainak tere forgásszimmetrikus, melyre ezáltal az ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ Lie-csoport ábrázolásaként lehet tekinteni.

• Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 2. kiadás, Graduate Texts in Mathematics, Springer. DOI: 10.1007/978-3-319-13467-3 (2015). ISBN 978-3319134666 
• Michael Kunzinger: Lie Groups. University of Vienna, 2023

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lie group című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.