Szerencsés számok

Nem tévesztendő össze a következővel: Fortunátus számok.

A matematika, azon belül a számelmélet területén egy szerencsés szám (lucky number) olyan természetes szám, amit egy bizonyos fajta szita segítségével lehet generálni. Ez hasonló a prímszámokat generáló Eratoszthenész szitájához, azzal a különbséggel, hogy ez a maradék halmaz sorszámait figyelembe véve húz ki elemeket, nem az eredeti halmaz (vagy másképp, mintha az eredeti Eratoszthenész szitája nem csak áthúzná az elemeket, hanem a rákövetkező elemek beesnének a kihúzottak helyére).

A módszer annyiból is különbözik az Eratoszthenész szitája során alkalmazottól, hogy a számok, amiken a szitálást végezzük (pl. a harmadik menetben az 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19... számok) mindig különböznek, míg Eratoszthenész szitájában a szita mindig az eredeti listát (1, 2, 3...) szűri.

A szitálást teljesen elvégezve, a megmaradó számokat nevezzük szerencsés számoknak:

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (A000959 sorozat az OEIS-ben).

A kifejezést Gardiner, Lazarus, Metropolis és Ulam javasolta 1956-ban megjelentetett cikkükben. A módszert meghatározó szitálást „Josephus Flavius szitájának”^[1] nevezték, a Josephus-probléma kiszámolós-játékához való hasonlósága miatt.

A szerencsés számok néhány tulajdonságukban a prímszámokra emlékeztetnek, például a prímszámtétel szerinti aszimptotikus viselkedésükben; a Goldbach-sejtés egy változatát a szerencsés számokra is kiterjesztették. Végtelen sok szerencsés szám létezik. Azonban ha L_n-nel jelöljük az n-edik szerencsés számot és p_n-nel az n-edik prímet, akkor L_n > p_n minden elegendően nagy n-re.^[2]

A prímszámokkal való nyilvánvaló kapcsolatuk miatt egyes matematikusok szerint a prímszámok tulajdonságai a természetes számok különböző sziták által generált, még fel nem derített halmazaiban is jelen lehetnek, bár kevés elméleti alapja van ennek a sejtésnek. Az ikerprímek és az iker-szerencsés számok hasonló gyakorisággal lépnek fel.

A szerencsés prímek olyan szerencsés számok, melyek egyben prímszámok. Nem ismert, hogy végtelen sok szerencsés prím létezik-e. Az első néhány szerencsés prím:

3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193 (A031157 sorozat az OEIS-ben).

• Fortunátus szám
• Boldog szám
• Harshad-szám

• (1956) „On certain sequences of integers defined by sieves”. Mathematics Magazine 29 (3), 117–122. o. DOI:10.2307/3029719. ISSN 0025-570X. 
• Guy, Richard K.. Unsolved problems in number theory, 3rd, Springer-Verlag (2004). ISBN 978-0-387-20860-2 

• Peterson, Ivars. MathTrek: Martin Gardner's Lucky Number Archiválva 2012. október 2-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Weisstein, Eric W.: Lucky Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Lucky Numbers by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.
• Symonds, Ria: 31: And other lucky numbers. Numberphile. Brady Haran. [2016. szeptember 19-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. július 16.)