Spazio pseudometrico

In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio pseudometrico è una generalizzazione dello spazio metrico, in cui due punti distinti possono avere distanza zero.

Esempi di spazi pseudometrici sono costruiti a partire da una seminorma su uno spazio vettoriale.

Uno spazio pseudometrico ${\displaystyle (X,d)}$ è un insieme ${\displaystyle X}$ dotato di una funzione

${\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$

chiamata pseudometrica, che soddisfa le proprietà seguenti per ogni ${\displaystyle x,y,z}$ in ${\displaystyle X}$:

1. ${\displaystyle \,\!d(x,x)=0}$.
2. ${\displaystyle \,\!d(x,y)=d(y,x)}$ (simmetria)
3. ${\displaystyle \,\!d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$ (disuguaglianza triangolare)

Differentemente da uno spazio metrico, qui non è richiesto che ${\displaystyle d(x,y)}$ sia diverso da zero per ogni coppia di punti distinti ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$.

Vi sono molti esempi di pseudometriche in analisi funzionale. Una seminorma ${\displaystyle ||}$ su uno spazio vettoriale induce sempre una pseudometrica nel modo seguente

${\displaystyle d(v,w)=|v-w|.}$

Ad esempio, lo spazio Lp delle funzioni misurabili su un aperto è dotato di una seminorma, e quindi di una pseudometrica.

Ogni spazio pseudometrico può essere quozientato canonicamente ad uno spazio metrico, nel modo seguente.

Due punti dello spazio pseudometrico ${\displaystyle X}$ sono equivalenti se hanno distanza zero. Questa relazione è effettivamente una relazione di equivalenza, e lo spazio quoziente da essa definito è uno spazio metrico, poiché la distanza

${\displaystyle d^{*}([x],[y])=d(x,y)}$

risulta ancora ben definita anche al quoziente.

• (EN) L.A. Steen, J.A.Seebach, Jr., Counterexamples in topology, (1970) Holt, Rinehart and Winston, Inc..
• (EN) A.V. Arkhangelskii, L.S.Pontryagin, General Topology I, (1990) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-18178-4

• Spazio uniforme

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