Nato ad Oristano da una famiglia povera, inizia a lavorare fin da giovanissimo come manovale. A venti anni è venditore ambulante de l'Unità,[2][3] l'organo di stampa del Partito Comunista Italiano. I dirigenti della locale sezione del partito intravedono in lui particolari doti politiche e lo inviano alla Scuola delle Frattocchie. Al suo rientro, sei mesi dopo, diviene segretario della Federazione Giovanile Comunista Italiana e si sposa. Dopo qualche tempo però inizia ad intrattenere una relazione con una compagna di partito, a seguito della quale, per lo scandalo destato, viene espulso dal PCI.
Murgia emigra quindi in Belgio, a Marcinelle, il grande centro carbonifero che vede impiegati come minatori diverse migliaia di lavoratori italiani. Anche lì stabilisce una relazione sentimentale con la moglie di un collega belga, scampando rocambolescamente alla morte la notte fatale del disastro di Marcinelle, nella quale un'esplosione di gas uccide tutti i minatori del suo turno, compreso il marito della signora. Murgia infatti si era finto malato per potersi intrattenere con la donna. Questa storia, ritenuta probabilmente falsa[4], fu pubblicata la prima volta nel 1959 sul settimanale Gente, in un ampio servizio a firma del noto romanziere e giornalista Renato Barneschi dedicato a Murgia, dal titolo Ferribotte ha trovato l'amore sul continente.
Murgia ritorna nella sua città natale, ma è costretto ad emigrare a Roma per sfuggire all'ira dei familiari di un'altra giovane donna, che egli corteggia nonostante sia già sposata. Nella capitale inizia a lavorare come lavapiatti in una trattoria del centro (Il re degli amici) fin quando viene notato da un assistente del regista Mario Monicelli, che lo invita in studio per un provino. Il regista gli affida il ruolo di Ferribotte (storpiatura di ferry boat, il traghetto che unisce la Sicilia al continente), il gelosissimo e possessivo immigrato siciliano, nella banda di inesperti e pasticcioni malavitosi romani che, nel capolavoro della commedia all'italiana del 1958, I soliti ignoti, tenta di scassinare senza successo la cassaforte del Monte dei Pegni.
Pur essendo sardo, Murgia rimarrà fedele al personaggio e allo stereotipocaricaturale del siciliano per gran parte delle sue apparizioni cinematografiche che si articoleranno, con una certa regolarità, per tutti i 40 anni successivi, attraversando i principali generi popolari del nostro cinema recente, e, proprio in quanto sardo, viene doppiato con cadenza sicula da attori quali Renato Cominetti, Ignazio Balsamo, Michele Gammino e Turi Ferro. Il grande pubblico lo ricorderà certamente per la sua mimica facciale, gli occhi spesso socchiusi e le sopracciglia perennemente arcuate e folte, il capo leggermente rivolto all'indietro nella rappresentazione satirica di un siciliano diffidente e ostinato.
Tiberio Murgia è attivo anche per gran parte degli anni ottanta e compare in diverse delle commedie interpretate da Adriano Celentano per la direzione di Castellano e Pipolo, nonché in diversi film diretti da Nando Cicero.
Alla fine del 2004 l'attore dà alle stampe la propria autobiografia Il solito ignoto, scritta con la collaborazione del giornalista Sergio Sciarra. L'uscita del libro lo riconduce alla ribalta grazie all'attenzione dei mass media e di alcuni critici cinematografici, da Tullio Kezich a Tatti Sanguineti a Roberto Silvestri. La sortita editoriale culmina nel 2006 con l'adozione dell'autobiografia come libro di testo all'Università La Sapienza di Roma, nel corso di storia del cinema italiano tenuto dal professor Orio Caldiron. La sua ultima apparizione televisiva risale al 2008, in una puntata della trasmissione I migliori anni, condotta da Carlo Conti.
Malato da tempo di Alzheimer,[5] Murgia è morto in una casa di cura per anziani a Tolfa il 20 agosto 2010, ultimo sopravvissuto tra i protagonisti maschili de I soliti ignoti. I funerali furono celebrati il 23 agosto, presso la Basilica di San Lorenzo al Cimitero del Verano, dov'è sepolto.[6] Nel 2012 è stato realizzato il documentario L'insolito ignoto - Vita acrobatica di Tiberio Murgia (a cura di Sergio Naitza) che ripercorre la vita dell'attore e raccoglie un'intervista inedita a poche settimane dalla morte.[7]
Renato Cominetti in I soliti ignoti, Uomini e nobiluomini, Audace colpo dei soliti ignoti, Costa Azzurra, Ferragosto in bikini, Il gatto mammone, I soliti ignoti vent'anni dopo
Ignazio Balsamo in La ragazza sotto il lenzuolo, Bellezze sulla spiaggia, Divorzio alla siciliana, La ragazza con la pistola
Michele Gammino in I due maghi del pallone, I due assi del guantone
