Valore atteso condizionato

Nella teoria della probabilità, il valore atteso condizionato (o media condizionata) di una variabile casuale è il suo valore atteso rispetto ad una distribuzione di probabilità condizionata.

Il punto di partenza è la definizione di probabilità condizionata: dati due eventi ${\displaystyle A,B}$, la probabilità di ${\displaystyle A}$ dato ${\displaystyle B}$ è

${\displaystyle P(A|B)={\begin{cases}0&{\text{se}}\;P(B)=0\\{\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}&{\text{altrimenti}}\end{cases}}}$

Allo stesso modo si può estendere la probabilità condizionata quando ${\displaystyle A,B}$ sono esiti di due variabili casuali:

${\displaystyle P(X\in A|Y\in B)={\frac {P(\{X\in A\}\cap \{Y\in B\})}{P(\{Y\in B\})}}}$

(se il denominatore è diverso da 0; 0 altrimenti). In particolare, se ${\displaystyle B=\{y\},A=\{x\}}$, si ha

${\displaystyle P(X=x|Y=y)={\frac {P(X=x\wedge Y=y)}{P(Y=y)}}}$

che, lasciando fisso ${\displaystyle y}$, può essere mediato:

${\displaystyle E[X|Y=y]=\sum _{x}x{\frac {P(X=x\wedge Y=y)}{P(Y=y)}}}$

definendo quindi ${\displaystyle E[X|Y]}$ come quella variabile casuale che vale ${\displaystyle E[X|Y=y]}$ quando ${\displaystyle Y=y}$. Questa definizione, tuttavia, è consistente solamente nel caso in cui ${\displaystyle X,Y}$ siano discrete, ma perde di senso quando sono continue, in quanto la probabilità che ${\displaystyle Y}$ sia un certo valore ${\displaystyle y}$ (così come quella che ${\displaystyle X}$ sia ${\displaystyle x}$) è sempre 0. Per eliminare queste difficoltà la definizione prende strade diverse.

Data una variabile aleatoria X e una σ-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, un valore atteso condizionato di X rispetto a ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ è una variabile aleatoria Y tale che

• Y è misurabile rispetto a ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$;
• Y è in L¹, cioè il suo modulo |Y| ha media finita;
• ${\displaystyle E[Y1_{F}]=E[X1_{F}]}$ per ogni ${\displaystyle F\in {\mathfrak {F}}}$ (1 è la funzione indicatrice).

Il risultato fondamentale che rende questa definizione sensata è l'esistenza, per ogni variabile aleatoria integrabile X e per ogni σ-algebra, di un valore atteso condizionato; inoltre due variabili aleatorie con queste caratteristiche sono uguali quasi certamente, e quindi possono essere considerate sostanzialmente "le stesse"; in tal caso si scrive

${\displaystyle Y=E[X|{\mathfrak {F}}]}$

Tale risultato può essere dimostrato a partire dal teorema di Radon-Nikodym, oppure tramite un argomento di approssimazione.

La definizione è consistente con quella elementare ponendo

${\displaystyle E[X|Z]=E[X|\sigma (Z)]}$

cioè se si considera la σ-algebra generata dalla variabile casuale Z.

Il valore atteso condizionato può essere interpretato come la miglior approssimazione che è possibile fare di X data l'informazione contenuta nella σ-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$: così come la media E[X] minimizza la funzione ${\displaystyle E[(X-c)^{2}]}$ quando c è un numero reale (ovvero una funzione misurabile sulla σ-algebra banale ${\displaystyle \{\varnothing ,\Omega \}}$), così il valore condizionato ${\displaystyle E[X|{\mathfrak {F}}]}$ minimizza ${\displaystyle E[(X-Y)^{2}]}$ tra le variabili aleatorie ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$-misurabili. Ovviamente questa interpretazione può essere data solo quando X appartiene a L².

Il valore atteso condizionato verifica tutte le maggiori proprietà del valore atteso: è positivo (cioè se ${\displaystyle X\geq 0}$ allora ${\displaystyle E[X|{\mathfrak {F}}]\geq 0}$), lineare, e verifica i teoremi della convergenza monotona, della convergenza dominata e il lemma di Fatou quando le ipotesi sono verificate dalla successione {X_n}: ad esempio, se le X_n sono positive e la successione è crescente verso X, allora

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }E[X_{n}|{\mathfrak {F}}]=E[X|{\mathfrak {F}}]}$

Un'altra proprietà fondamentale è la possibilità di calcolare una media attraverso il condizionamento: per ogni variabile aleatoria X e per ogni σ-algebra si ha

${\displaystyle E[X]=E[E[X|{\mathfrak {F}}]]}$

formula che è utile nel calcolo di alcune medie, come nel caso in cui X è una variabile aleatoria definita da un parametro che è anch'esso aleatorio. (Ad esempio, X potrebbe essere una variabile aleatoria binomiale in cui il numero di lanci è una variabile di Poisson.) Un'altra caratteristica è la "proprietà della torre": se ${\displaystyle {\mathfrak {H}}\subseteq {\mathfrak {G}}}$ sono due σ-algebre, allora

${\displaystyle E[E[X|{\mathfrak {G}}]|{\mathfrak {H}}]=E[X|{\mathfrak {H}}]}$

• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, 1991, ISBN 978-0-521-40605-5.

• Martingala (matematica)

• (EN) conditional expectation, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

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