平行移動はすべての点を一定の方向に一定の距離だけ動かす。 平行 な二つの直線 を軸とする二つの鏡映 の合成 は平行移動である。各点が平行移動により距離 M だけ動くとき、二つの直線の距離はその半分 M /2ユークリッド幾何学 における平行移動 （へいこういどう、英 : translation, parallel translation, parallel displacement ）とは、すべての点を一定の方向に一定の距離だけ動かす変換 である。
平行移動は並進 [ 1] 並進運動 (translational motion ) とも呼ばれる。
平行移動は向き や距離 ・角度 を保ち、非自明なものは不動点 を持たない。
一次元の場合、平行移動 T は定数 a を用いて
T (x ) = x + a と表せる。
平行移動は各点に定ベクトル を加える操作として解釈することや、座標系 の原点 をずらす操作として解釈することもできる。定ベクトル v v T v P(p ) を v
T v p ) = p + v として働く。
平行移動は二つの図形の間の一対一対応や、ある平面から別の平面への写像とみることもできる。T が平行移動であるとき、部分集合 A の写像 T による像 を、A の T による平行移動と呼ぶ。T が定ベクトル v T v A の T v A + v
平行移動を剛体運動 として記述することもできる（平行移動の他には回転 と鏡映 ）。n ユークリッド空間 において任意の平行移動は等距変換 である。平行移動全体の成す集合は平行移動群 T (n )ユークリッド群 E (n )正規部分群 である。E (n )T (n )剰余群 は直交群 O (n )
E (n )/T (n ) ≅ O (n )である。
ベクトル変数の写像 f (v )δ に対応する平行移動作用素 T δ
T
δ
f
(
v
)
=
f
(
v
+
δ
)
{\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )}
で定義される作用素 を言う。
非自明な平行移動は不動点 を持たないアフィン変換 である。一方、行列の積 は必ず原点 を固定する。 にも拘らず、ベクトル空間 の平行移動を行列 で表すことが、斉次座標系 （英語版 ）
例えば三次元の場合において、ベクトル w = (w x w y w z w = (w x w y w z
各点を斉次座標で書いた斉次ベクトル p v 平行移動行列
T
v
=
(
1
0
0
v
x
0
1
0
v
y
0
0
1
v
z
0
0
0
1
)
{\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{pmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}
を掛ければよい。実際、以下に見るように掛けた結果
T
v
p
=
(
1
0
0
v
x
0
1
0
v
y
0
0
1
v
z
0
0
0
1
)
(
p
x
p
y
p
z
1
)
=
(
p
x
+
v
x
p
y
+
v
y
p
z
+
v
z
1
)
=
p
+
v
{\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{pmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{pmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }
は所期のものであることが確認できる。平行移動行列の逆行列は、ベクトルの向きを逆にすればよいから、
T
v
−
1
=
T
−
v
{\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }}
で与えられる。同様に、平行移動行列の積は、ベクトルの和に対する平行移動
T
u
T
v
=
T
u
+
v
{\displaystyle T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }}
になる。ベクトルの和は可換 であるから、平行移動行列同士の積もそうである（任意の行列の積が非可換であるのとは異なる）。
物理学 における平行移動は並進運動 とも呼ばれ、物体の位置 を変える運動である（回転運動 に対照する）。例えば Whittaker (1988 , p. 1 ) によれば、
If a body is moved from one position to another, and if the lines joining the initial and final points of each of the points of the body are a set of parallel straight lines of length ℓ , so that the orientation of the body in space is unaltered, the displacement is called a translation parallel to the direction of the lines, through a distance ℓ . （剛体がある位置から別な位置へ動くとき、剛体の各点の始点と終点を結ぶ直線が平行線集合となり、したがって空間における剛体の向きが変わらないならば、この変位を「その直線方向への距離 ℓ だけの平行移動」と呼ぶ。）
平行移動は物体の各点 (x , y , z ) を
(
x
,
y
,
z
)
→
(
x
+
Δ
x
,
y
+
Δ
y
,
z
+
Δ
z
)
{\displaystyle (x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)}
なる形の式に従って変化させる操作である。ただし、(Δx , Δy , Δz ) は物体の各点に共通のベクトル とする。この物体の各点に共通の平行移動ベクトル (Δx , Δy , Δz ) は、（「角」変位 (angular displacement) と呼ばれる回転を含む変位と区別して）ふつう「線型」変位または「直線」変位 (linear displacement) と呼ばれる特定の種類の変位 を記述するものである。
時空 を考えるとき、時間 座標の変化は平行移動であると考えられる。例えば、ガリレイ変換 群やポワンカレ群 は時間に関する平行移動を含む。
Osgood, William F.; Graustein, William C. (1921). Plane and solid analytic geometry . The Macmillan Company Paul, Richard (1981), Robot manipulators: mathematics, programming, and control : the computer control of robot manipulators , https://books.google.co.jp/books?id=UzZ3LAYqvRkC Whittaker, Edmund Taylor (1988). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies (Reprint of fourth edition of 1936 with foreword by William McCrea ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-35883-3
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Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Parallel displacement” , Encyclopedia of Mathematics ISBN 978-1-55608-010-4 , https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Parallel_displacement Weisstein, Eric W. "Translation" . mathworld.wolfram.com (英語). Terr, David. "Complex Translation" . mathworld.wolfram.com (英語). Translation Transform at cut-the-knot Geometric Translation (Interactive Animation) at Math Is FunUnderstanding 2D Translation and Understanding 3D Translation by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project . 
