計量テンソル

リーマン幾何学において計量テンソル（けいりょうテンソル、英: metric tensor）とは、空間の局所ごとの構造を表す階数（rank）2のテンソルである。距離と角度の定義を与える。多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の計量テンソルが得られるときにその多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量（Riemannian metric）とも呼ばれる。

ひとたびある座標系 xⁱ が選ばれると、計量テンソルは行列で表される。通常、文字 G があてがわれ、各成分は g_ij とされる。Gは、ユークリッド空間のように平らな領域では単位行列となる。

以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法に従う。

時刻t₁ から t₂ までの曲線の長さは、t をパラメータとして、

${\displaystyle L=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}dt\ }$

と定義される。

この定義からわかる通り、 g_ij は、２点間の距離に対する各軸成分の寄与を表す係数である。

このとき2つの接ベクトル（tangent vector）${\displaystyle U=u^{i}{\partial \over \partial x^{i}}\ }$ と ${\displaystyle V=v^{i}{\partial \over \partial x^{i}}\ }$ のなす角度 θ は、

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}\ }$

で与えられる。

2次元のユークリッド計量（平らな空間、直交直線座標系）では、その全域において、計量テンソルがクロネッカーデルタまたは単位行列となる。すなわち

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}}$

で与えられ、曲線の長さは良く知られた

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}}}\ }$

で与えられる。逆に計量テンソルが単位行列になるのは直交直線座標系のときに限る^[1]。

座標系を替えたユークリッド計量の例をいくつか示す。

極座標（Polar coordinates）

${\displaystyle (x^{1},x^{2})=(r,\theta )\ }$

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}}$

^[要説明]

円筒座標（Cylindrical coordinates）

${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,z)\ }$

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+(dz)^{2}}$

球座標（Spherical coordinates）

${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,\phi )\ }$

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta (d\phi )^{2}}$

この節の加筆が望まれています。 （2021年10月）

• 平らな ミンコフスキー空間（Minkowski space）

${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(t,x,y,z)\ }$

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=-(dt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}$

• シュワルツシルト計量

　•ポアンカレ円板

${\displaystyle ds^{2}=(4/(1-(x^{2}+y^{2}))^{2})(dx^{2}+dy^{2})}$

• 石原繁『テンソル －科学技術のために－』裳華房、1991年。 

表 話 編 歴 テンソル
Glossary of tensor theory（英語版）
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テンソルの定義	テンソル空間 テンソル場 テンソル密度（英語版） 曲線座標系におけるテンソル（英語版） 混テンソル（英語版） 反対称テンソル 対称テンソル テンソル作用素（英語版） テンソル束（英語版）
算法	テンソル積 楔積 テンソルの縮約 行列（2階テンソル）の転置 添字の上げ下げ（英語版） ホッジ双対 共変微分 外微分 共変外微分（英語版） リー微分
関連事項	次元 基底 ベクトル、ベクトル空間 多重ベクトル（英語版） ベクトルの共変性と反変性 線型写像 行列 スピノール カルタン形式 微分形式 接続形式 測地線 多様体 ファイバー束 曲率形式 レヴィ・チヴィタ接続 アフィン接続
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