開平法

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開平法（かいへいほう、英: extraction of square root）とは、正の数の平方根の小数表示を求めていくアルゴリズムである。開平や開平算、開平計算とも。平方根を求めることを開平するという。開法の一種。

与えられた正の数の正の平方根の小数表示を求めるために、ここではまず漸化式を立てて、一般的な求値法を求める。そして、求値の明確化のために、開平法と呼ばれる筆算の原理を導出する。以下は十進法表示の場合だが、他の位取り記数法でも同様な計算で求められる。ここで述べるのと基本的には同じ方法で、立方根を求める開立法や、もっと一般に n 乗根を求めることも可能である。

与えられた √x (x > 0) に対し、10^k の位 a_k (k ≤ n) を求める：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}&=\textstyle \sum \limits _{k\leq n}10^{k}a_{k}\\&=10^{n}a_{n}+10^{n-1}a_{n-1}+\cdots +10^{2}a_{2}+10a_{1}+a_{0}+10^{-1}a_{-1}+10^{-2}a_{-2}+\cdots \end{aligned}}}$

x の首位を a_n とする。つまり、n は √x < 10^k+1 を満たす最小の k とする。また便宜上 a_k = 0 (k > n) とする。

√x の 10^m の位より上（かみ）の位 p_m は分かっているとし、10^m の位 a_m を求めるとする。すなわち

${\displaystyle p_{m}=\textstyle \sum \limits _{k=m+1}^{n}10^{k-m-1}a_{k}=10^{n-m-1}a_{n}+10^{n-m-2}a_{n-1}+\cdots +10a_{m+2}+a_{m+1}}$

とおく。

a_m は 10^m+1p_m + 10^ma_m ≤ √x を満たす最大の a_m、すなわち

(20p_m + a_m)a_m ≤ 10^−2mx − 100p_m² … (1)

を満たす最大の a_m である。これを見つける。

a_m の値は 0 から 9 までの 10 通りなので、順に試していけば a_m は求まる。

m = n のとき、p_n = 0 より

a_n² ≤ 10⁻²ⁿx

m < n のとき、

20p_ma_m ≤ (20p_m + a_m)a_m ≤ 10^−2mx − 100p_m²

p_m ≠ 0 より

${\displaystyle a_{m}\leq {\frac {10^{-2m}x-100{p_{m}}^{2}}{20p_{m}}}}$

右辺の計算値により、a_m の値の見当を付けることができる。

これにより a_m が求まれば、

p_m−1 = 10p_m + a_m

の値が分かるから、

(20p_m−1 + a_m−1)a_m−1 ≤ 10^−2(m−1)x − 100p_m−1²

を満たす最大の a_m−1 を見つければよい。

このようにして、帰納的に a_k (k ≤ n) の値が求まる。

不等式(1) を簡略化する。「20」を基数 10 と合わせるため 10 × 2 とする。そのため

q_m = 2p_m

y_m = 10^−2mx − 100p_m²

とおくと、不等式(1) は

(10q_m + a_m)a_m ≤ y_m … (1')

である。

q_m = 2p_m

    = 2(10p_m+1 + a_m+1)

    = 10q_m+1 + 2a_m+1 … (2)

(1') を満たす最大の a_m を求めるために、y_m の整数部分 z_m を、z_m+1 から求める。

r_m = (10q_m + a_m)a_m とおくと、

y_m = 10^−2mx − 100p_m²

    = 100{10^−2(m+1)x − (10p_m+1 + a_m+1)²}

    = 100{10^−2(m+1)x − 100p_m+1²} − 100(20p_m+1 + a_m+1)a_m+1

    = 100y_m+1 − 100r_m+1

100y_m+1 = 10^−2mx − 10000p_m+1² の整数部分は、x の 10ⁱ の位を x_i とすると、100z_m+1 + 10x_2m+1 + x_2m に等しい。したがって、

z_m = (100z_m+1 + 10x_2m+1 + x_2m) − 100r_m+1

    = 100(z_m+1 − r_m+1) + 10x_2m+1 + x_2m … (3)

(2), (3) から、(1') を満たす最大の a_m を求めていく。

p_m から不等式(1') を満たす最大の a_m を求めていくには、筆算による帰納的計算が明確である。

1. z_m = 100(z_m+1 − r_m+1) + 10x_2m+1 + x_2m から r_m = (10q_m + a_m)a_m を引き、負とならない最大の a_m を求める。（主算）
2. 次の a_m−1 を求めるために、q_m−1 = (10q_m + a_m) + a_m を求めておく。（副算）

例として、ここでは x = 5630738.132 の正の平方根 √x の小数表示を求める。初期値は、

• x₆ = 5, x₅ = 6, x₄ = 3, x₃ = 0, x₂ = 7, x₁ = 3, x₀ = 8, x₋₁ = 1, x₋₂ = 3, x₋₃ = 2, x_i = 0 (i < −3)

• 10⁶ ≤ x < 10⁸ より、n = 3

まずは a₃ を求める。

• z₄ = 0
• r₄ = 0
• p₃ = 0 より q₃ = 0

z₃ = 100(z₄ − r₄) + 10x₇ + x₆ = 100 × (0 − 0) + 5 = 5

r₃ = (10q₃ + a₃)a₃ = a₃²

a₃² ≤ 5 を満たす最大の a₃ は、a₃ = 2 である。

次に、a₂ を求める。

• q₂ = (10q₃ + a₃) + a₃ = 2 + 2 = 4

z₂ = 100(z₃ − r₃) + 10x₅ + x₄ = 100 × (5 − 4) + 63 = 163

r₂ = (10q₂ + a₂)a₂ = (40 + a₂)a₂

(40 + a₂)a₂ ≤ 163 を満たす最大の a₂ は、a₂ = 3 である。

a₁ を求める。

• q₁ = (10q₂ + a₂) + a₂ = 43 + 3 = 46

z₁ = 100(z₂ − r₂) + 10x₃ + x₂ = 100 × (163 − 129) + 7 = 3407

r₁ = (10q₁ + a₁)a₁ = (460 + a₁)a₁

(460 + a₁)a₁ ≤ 3407 を満たす最大の a₁ は、a₁ = 7 である。

同様の計算を繰り返すと、各項の値は次の表のようになる。

a_m の値から

√5630738.132 = 2372.91764…

である。

a_m の値は、先述の筆算による方法（開平法）によりさらに簡単に計算できる。

本節は、これまでに登場した漸化式の原理により筆算の手順を説明するが、筆算の手順だけを知りたいのであれば、漸化式による説明の箇所を読み飛ばしても差し支えない

x = 5630738.132 の正の平方根 √x の小数表示を求める。

まず、x の値を、小数点から2桁ずつ「ブロック」に分けて書く。

• 各ブロックは、z_m = 100(z_m+1 − r_m+1) + 10x_2m+1 + x_2m の下線部に該当する。

左側に縦2つ等しい値を書き、積が左端のブロック (5) を超えない最大の値 (2) を見つける。ブロック (5) の上に見つけた値 (2) を書く。左の筆算を立て、下に和の計算結果 (4) を書く。ブロック (5) の下に、左の筆算の、和でなく積の計算結果（この場合は和と同じ 4）を書く。筆算を立て、差の計算結果 (1) をその下に書く。

• z₄ = r₄ = 0 より z₃ = 10x₈ + x₇ = 5。q₃ = 0 より、(0 + a₃)a₃ ≤ 5 を満たす最大の a₃ は a₃ = 2。この時 r₃ = 2 × 2 = 4。次の計算のために、z₃ − r₃ = 5 − 4 = 1, q₂ = 2 + 2 = 4 を計算しておく。

差の計算結果 (1) の右隣りに、上のブロック (63) を下ろす。左の筆算の末位に縦2つ等しい値を書き、積が下ろしてできた数 (163) を超えない最大の値 (3) を見つける。ブロック (63) の上に見つけた値 (3) を書く。左の筆算を立て、下に和の計算結果 (46) を書く。下ろしてできた数 (163) の下に、左の筆算の積の計算結果 (129) を書く。筆算を立て、差の計算結果 (34) をその下に書く。

z₂ = 100(z₃ − r₃) + 10x₅ + x₄ = 163。(40 + a₂)a₂ ≤ 163 を満たす最大の a₂ は a₂ = 3。この時 r₂ = 43 × 3 = 129。次の計算のために、z₂ − r₂ = 163 − 129 = 34, q₁ = 43 + 3 = 46 を計算しておく。

同様の計算を（m = −5 まで）行うと、次のようになる。

これより

√5630738.132 = 2372.91764…

である。

検算してみると、

2372.91764² = 5630738.1262231696

2372.91765² = 5630738.1736815225

となり

2372.91764 < √5630738.132 < 2372.91765

が確かに成り立つ。

珠算による開平法として次の方法がある。

• 倍根法
• 半九九法

根の定位の仕方は次のようになる。

• 平方が整数のとき：平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、その区分できた回数が、根の桁数となる。
• 平方が帯小数のとき：平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、その区分できた回数が、根の整数の桁数となる。
• 平方が小数のとき：平方の 0 を2桁ずつ区分して、その区分できた回数が、根の小数点以下の 0 の桁数となる。

例：√4225 = 65

	平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、根の桁数が2桁であることを調べる。（根の定位による）
	最後の区分された数 42 に含まれている平方根 6 を求めて、初根 6 を置き、初根 6 の 2 乗 (62 = 36) を 42 から引く。
	初根 6 の 2 倍の 12 を、左に置き、その 12 で残りの平方を割って、次根 5 を初根の隣りに置く。
	次根 5 の 2 乗 (52 = 25) を引く。
	平方根は 65 である。

例：√4225 = 65

	平方の一の位から左へ2桁ずつ区分して、根の桁数が2桁であることを調べる。（根の定位による）
	最後の区分された数 42 に含まれている平方根 6 を求めて、初根 6 を置き、初根 6 の 2 乗 (62 = 36) を 42 から引く。
	残りの平方 625 を 2 で割る。（初根の 2 乗を引いたあと、いつも残りの平方を 2 で割る）
	2 で割った平方の残りを、初根 6 で割って次根 5 を求める。
	次根 5 の半九九 12.5 を引く。
	平方根は 65 である。

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