하우스도르프 공간

각 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$가 ${\displaystyle x}$의 근방 필터라고 하자.

두 점의 근방 분리 ⇒ 수렴 진필터의 극한의 유일성: 진필터 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 서로 다른 두 점 ${\displaystyle y_{1}\neq y_{2}}$로 수렴한다고 가정하자. 그렇다면, 임의의 열린 근방 ${\displaystyle U_{1}\ni y_{1}}$, ${\displaystyle U_{2}\ni y_{2}}$에 대하여, ${\displaystyle U_{1},U_{2}\in {\mathcal {F}}}$이므로 ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\in {\mathcal {F}}}$이며, ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$이므로 ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\neq \varnothing }$이다. 즉, 서로소 열린 근방으로 분리될 수 없는 서로 다른 두 점이 존재한다.

수렴 진필터의 극한의 유일성 ⇒ 두 점의 근방 분리: 서로소 열린 근방을 갖지 않는 서로 다른 두 점 ${\displaystyle y_{1}\neq y_{2}}$가 존재한다고 가정하자. 그렇다면

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{U_{1}\cap U_{2}\colon U_{1}\in {\mathcal {N}}_{y_{1}},\;U_{2}\in {\mathcal {N}}_{y_{2}}\}}$

가 ${\displaystyle X}$ 위의 필터임을 보일 수 있다. 또한, 가정에 따라 ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$이므로 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 진필터이며, ${\displaystyle X\in {\mathcal {N}}_{y_{1}},{\mathcal {N}}_{y_{2}}}$이므로 ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{y_{1}},{\mathcal {N}}_{y_{2}}\subseteq {\mathcal {F}}}$이다. 즉, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 서로 다른 두 점 ${\displaystyle y_{1}\neq y_{2}}$로 수렴한다.

${\displaystyle \operatorname {Haus} }$에서, 조밀 집합을 상으로 하는 연속 함수는 자명하게 전사 사상이다. (조밀 집합#조밀 집합은 연속 함수를 결정한다 참고.) 반대로,

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

가 하우스도르프 공간 사이의 전사 사상이라고 가정하고, 상의 폐포

${\displaystyle Y_{0}=\operatorname {cl} f(X)}$

가 ${\displaystyle Y}$임을 증명하자.

${\displaystyle Z=Y\cup _{i}Y}$

가 포함 함수 ${\displaystyle i\colon Y_{0}\to Y}$에 대한 붙임 공간이라고 하고,

${\displaystyle g,h\colon Y\to Z}$

가 두 개의 자연스러운 연속 함수라고 하자. (즉, ${\displaystyle g,h}$는 각각 두 개의 매장 ${\displaystyle Y\to Y\sqcup Y}$와 몫사상 ${\displaystyle Y\sqcup Y\to Z}$의 합성이다.) 붙임 공간의 정의에 따라 ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$임을 알 수 있다. 만약 ${\displaystyle Z}$가 하우스도르프 공간이라면, 전사 사상의 정의에 따라 ${\displaystyle g=h}$이며, 결국 ${\displaystyle Y_{0}=Y}$이게 된다. 이제 ${\displaystyle Z}$가 하우스도르프 공간임을 증명하는 일만 남았다. 붙임 공간의 정의에 따라, 다음 두 명제가 성립한다.

• ${\displaystyle U\subseteq Z}$가 열린집합일 필요충분조건은 ${\displaystyle g^{-1}(U),h^{-1}(U)\subseteq Y}$가 둘 다 열린집합인 것이다.
• ${\displaystyle Z=g(Y)\cup h(Y)=g(Y\setminus Y_{0})\sqcup h(Y)=g(Y)\sqcup h(Y\setminus Y_{0})}$

(사실, 붙임 공간의 성질과 대칭성에 따라, ${\displaystyle g,h}$는 닫힌 위상수학적 매장이며, ${\displaystyle g\upharpoonright Y\setminus Y_{0}}$과 ${\displaystyle h\upharpoonright Y\setminus Y_{0}}$은 열린 위상수학적 매장이다.) 따라서, 임의의 서로 다른 두 점 ${\displaystyle \xi ,\eta \in Z}$가 서로소 열린 근방을 가짐은 다음 세 가지 경우로 나눠 증명할 수 있다.

• ${\displaystyle \xi ,\eta \in g(Y)}$
  • 이 경우, ${\displaystyle \xi =g(x)}$, ${\displaystyle \eta =g(y)}$인 서로 다른 두 점 ${\displaystyle x,y\in Y}$이 존재한다. ${\displaystyle Y}$의 하우스도르프 조건에 따라, ${\displaystyle U,V}$가 ${\displaystyle x,y}$의 서로소 열린 근방이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle g(x),g(y)}$는 다음과 같은 서로소 열린 근방 ${\displaystyle {\tilde {U}},{\tilde {V}}}$를 갖는다.

    ${\displaystyle {\tilde {U}}={\begin{cases}g(U\setminus Y_{0})&x\in Y\setminus Y_{0}\\g(U)\cup h(U)&x\in Y_{0}\end{cases}}}$

    ${\displaystyle {\tilde {V}}={\begin{cases}h(V\setminus Y_{0})&y\in Y\setminus Y_{0}\\g(V)\cup h(V)&y\in Y_{0}\end{cases}}}$

• ${\displaystyle \xi ,\eta \in h(Y)}$
  • 이 증명은 위와 유사하다.
• ${\displaystyle \xi \in g(Y)\setminus h(Y)=g(Y\setminus Y_{0})}$, ${\displaystyle \eta \in h(Y)\setminus g(Y)=h(Y\setminus Y_{0})}$
  • 이 경우, ${\displaystyle g(Y\setminus Y_{0})}$와 ${\displaystyle h(Y\setminus Y_{0})}$은 ${\displaystyle \xi ,\eta }$의 서로소 열린 근방이다.

하우스도르프 공간 사이의 정칙 단사 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이 주어졌으며, ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle g,h\colon Y\to Z}$의 동등자라고 하자. 편의상

${\displaystyle X=\{y\in Y\colon g(y)=h(y)\}}$

이며, ${\displaystyle f}$가 포함 함수라고 가정할 수 있다. (이는 이러한 포함 함수가 실제로 동등자를 이루며, 모든 동등자들은 서로 동형이기 때문이다.) 이 경우, ${\displaystyle f}$는 매장이며, 하우스도르프 조건에 따라 ${\displaystyle X}$는 ${\displaystyle Y}$의 닫힌집합이다. 즉, ${\displaystyle f}$는 닫힌 매장이다.

반대로, 하우스도르프 공간 사이의 닫힌 매장 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이 주어졌다고 하자. 편의상, ${\displaystyle f}$가 닫힌집합 ${\displaystyle X\subseteq Y}$의 포함 함수라고 하자. ${\displaystyle f=\operatorname {eq} \{g,h\}}$인 하우스도르프 공간 ${\displaystyle Z}$ 및 두 연속 함수 ${\displaystyle g,h\colon Y\to Z}$를 찾으면 족하다. ${\displaystyle Z}$가 다음과 같은 붙임 공간이라고 하자.

${\displaystyle Z=Y\cup _{f}Y}$

그렇다면, ${\displaystyle Z}$가 하우스도르프 공간임을 #전사 사상에서의 증명과 유사하게 보일 수 있다. 자연스러운 두 연속 함수

${\displaystyle g,h\colon Y\to Z}$

를 정의하였을 때,

${\displaystyle X=\{y\in Y\colon g(x)=h(x)\}}$

이다. 즉, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle g,h}$의 동등자이다.