Единична кружница

Единична кружница
Единична кружница (со агол)
тип	рамнинска фигура
образ	кружница
равенка	x²+y²=1
поддршка	центар=(0,0) полупречник=R=1
друго	аголот α=∠XOT е во стандардна позиција

Во геометријата, единична кружница е кружница со полупречник 1.^[1][2][3] Равенката на единична кружница со центар во координатниот почеток гласи ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$. Единичната кружница помага при дефинирање на радијани (единица за мерење на агли) и при проширување на дефиницијата за тригонометриски вредности на било кој агол.

• Единична кружница исто така е контурата (графиконот) на поларната функција ρ=1.
• Единична кружница исто така е контурата (графиконот) на комплексната функција |z|=1, каде што |z| е модулот на z=x+iy.^[4]

Главните две единици за мерење на големина на агол се степени и радијани. Врската помеѓу овие единици е единичната кружница.^[5]

• Имено, должината на периметарот на единична кружница е 2π≈6,2832.
• Од друга страна, бројот на степени во цела кружница е 360°. Се дефинира 1 (радијан) да е 360°/_2π, т.е.

Единична кружница има периметар L=2π≈6,28

${\displaystyle 360^{\circ }=2\pi }$   односно   ${\displaystyle 180^{\circ }=\pi \approx 3{,}1416}$

• Значи:

${\displaystyle 1={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57{,}30^{\circ }}$

• Кај радијани не треба да се „пиши“ единица, туку само број. Честопати при првото објаснување на поимот радијани се пиши (радијани), но не треба. Ако големината на агол е дадена како број (би требало) да значи дека е зададена во радијани.^[6]

Регулатива: Доколку во математички израз или функција има некоја тригонометриски (или циклометриски) израз или функција, вредноста која се заменува (или се добива) мора да биде во радијани.

Пример: f(x)=x·sin(x). Пресметај f(2,17). Најпрво се проверува дека дигитронот е подесен во модот за радијани. Потоа f(2,17)= 2,17·sin(2,17)≈1,79

Пример: g(x)=–3·x·arctan(x). Пресметај g(2,17). Најпрво се проверува дека дигитронот е подесен во модот за радијани. Потоа g(2,17)= –3·2.17·arctan(2,17)≈= –7,41

Во Декартов правоаголен координатен систем, агол α е во стандардна позиција ако темето е во О(0,0), почетниот крак е позитивниот дел од х-оска, а крајниот крак се добива по ротација за α и тоа:

• Ако α≥0, т.е. ако α е позитивна, ротацијата е во насоката спротивна на стрелките на часовникот и
• Ако α≤0, т.е. ако α е негативна, ротацијата е во насоката на стрелките на часовникот.

Понатаму, нека е даден било кој агол α (позитивна, негативна, голема, ...). Го цртаме аголот α во стандардна позиција во рамнината заедно со единичната кружница.

• Точката T(b,a) нека е пресекот на крајната полуправа на аголот α со единична кружница.
• Забелешка: Тука b е x-координатата, а a е y-координатата. Координатите, т.е. броевите b и a можат да бидат позитивни, негативни или нула во зависност од квадрантот во која лежи точката T. Меѓутоа:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$

• За точката Т(b,a) на единичната кружница, тригонометриските вредности на аголот α=∠XOT каде што X=(0,1) се:^[7]

${\displaystyle \sin(\alpha )=a}$  и  ${\displaystyle \cos(\alpha )=b}$  и  ${\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {a}{b}}}$

При агли кои завршуваат внатре во квадрантите, тригонометриски вредности се дефинираат преку референтни агли и референтните правоаголни триаголници (види тригонометрија). Тригонометриските вредности на агли кои завршуваат на еден од оските се пресметуваат преку единичната кружница. Референтните триаголници на овие агли се дегенерирани триаголници (се сплескуваат). Меѓутоа, координатите на нивната пресечна точка Т со единичната кружница едноставно се одредуваат само со гледање. На пример, точката Т за аголот 180° e пресекот на кружницата со негативниот дел од x-оската, т.е. T=(–1,0).

sin(0°)=0 cos(0°)=1 tan(0°)=0	sin(90°)=1 cos(90°)=0 tan(90°)= ∞	sin(180°)=0 cos(180°)= –1 tan(180°)=0	sin(270°)= –1 cos(270°)=0 tan(270°)= ∞

Се разбира дека овие формули важат и за сите агли котерминални со наведените агли.

Примери: Аголот 360° e котерминален со аголот 0°. Следува: sin(360°)=sin(0°)=0, cos(360°)=cos(0°)=1, tan(360°)=tan(0°)=0. Аголот –450° e котерминален со аголот 270°. Следува: sin(–450°)=sin(270°)=–1, cos(–450°)=cos(270°)=0, tan(–450°)=tan(270°)=∞.

Од друга страна, за одредување на пресечната точка Т на аголот α кој завршува внатре во квадрантите се користат тригонометриските вредности на α (види тригонометрија).

${\displaystyle T(b,a)=T(\cos(\alpha ),\sin(\alpha ))}$

${\displaystyle \sin(37^{\circ })\approx 0{,}6}$ ${\displaystyle \cos(37^{\circ })\approx 0{,}8}$ ${\displaystyle \tan(37^{\circ })\approx 0{,}75}$	${\displaystyle \sin(217^{\circ })\approx -0{,}6}$ ${\displaystyle \cos(217^{\circ })\approx -0{,}8}$ ${\displaystyle \tan(217^{\circ })\approx 0{,}75}$	${\displaystyle \sin(-53^{\circ })\approx -0{,}8}$ ${\displaystyle \cos(-53^{\circ })\approx 0{,}6}$ ${\displaystyle \tan(-53^{\circ })\approx -1{,}333}$

• Кружница
• Агол, Степен, Радијан
• Тригонометрија
• Поларна функција

• Стојановска, Л. (2010). „Радијани“. Архивирано од изворникот на 2016-03-05. Посетено на 1 декември 2013. интерактивен
• Стојановска, Л. (2010). „Помината пат по кружница“. Архивирано од изворникот на 2012-04-26. Посетено на 1 декември 2013. интерактивен
• „Plotting Polar Functions“ (англиски). shoder.org. 2010. Посетено на 1 декември 2013. интерактивен