Grenseverdi

I matematikk er en grenseverdi (kortform grense) en verdi som en funksjon nærmer seg, når funksjonsargumentet nærmer seg et bestemt punkt, eller uendelig. Også en følge kan ha en grenseverdi, som det n-te leddet nærmer seg når n går mot uendelig. For både funksjoner og følger krever en formell definisjon at en først har definert uttrykk som «nær» og «nærmer seg», noe som kan gjøres både i et metrisk rom og i et normert vektorrom.

Grenseverdier spiller en grunnleggende rolle i matematisk analyse.

Grenseverdien ${\displaystyle b}$ til en funksjon ${\displaystyle f}$ når funksjonsargumentet nærmer seg verdien ${\displaystyle a}$, kan uttrykkes på de to ekvivalente måtene

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\lim _{x\to a}f(x)=b\\[5pt]&f(x)\to b\quad {\text{når}}\quad x\to a\end{alignedat}}}$

Symbolet ${\displaystyle \lim }$ er en forkortelse for det latinske ordet limes, som opprinnelig betydde grensen mellom to landområder. Når en romer nærmet seg limes, kom han nærmere en områdegrense.^[1]

Verdien ${\displaystyle a}$ kan være endelig eller uendelig. Dersom funksjonen ${\displaystyle f}$ er definert for et endelig argument ${\displaystyle a}$, så kan ${\displaystyle f(a)}$ være lik eller ulik grenseverdien ${\displaystyle b}$. Dersom ${\displaystyle f(a)=b}$, så er funksjonen kontinuerlig i ${\displaystyle a}$.

En grenseverdi til en følge kan tilsvarende skrives som

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\lim _{n\to \infty }x_{n}=b\\[5pt]&x_{n}\to b\quad {\text{når}}\quad n\to \infty \end{alignedat}}}$

En følge som har en grenseverdi sies å være konvergent. En følge som ikke er konvergent, er divergent.

For mengden av reelle tall ${\displaystyle {\bf {R}}}$ måler en vanligvis avstand ved hjelp av absoluttverdi, og to reelle tall er nær hverandre dersom absoluttverdien av differansen er liten. En reell funksjon av én variabel har grenseverdien ${\displaystyle b}$ når funksjonsargumentet nærmer seg et opphopningspunkt ${\displaystyle a}$, dersom det for et hvert reelt tall ${\displaystyle \epsilon >0}$ finnes et reelt tall ${\displaystyle \delta >0}$, slik at hvis ${\displaystyle x}$ er et tall i definisjonsmengden til ${\displaystyle f}$, så gjelder det at

${\displaystyle 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\epsilon .}$

Definisjonen kan uttrykkes slik: Forskjellen mellom ${\displaystyle f(x)}$ og ${\displaystyle b}$ kan gjøres så liten man vil, ved å velge ${\displaystyle x}$ tilstrekkelig nær ${\displaystyle a}$.

I definisjonen over er både ${\displaystyle a}$ og grenseverdien ${\displaystyle b}$ endelige størrelser. Definisjonen må justeres litt dersom en ønsker å studere en grenseverdi når funksjonsargumentet går mot uendelig: En funksjon har grenseverdien ${\displaystyle b}$ når funksjonsargumentet går mot uendelig, dersom det for et hvert reelt tall ${\displaystyle \epsilon >0}$ finnes et reelt tall ${\displaystyle S>0}$, slik at

${\displaystyle x>S\Rightarrow |f(x)-b|<\epsilon .}$

Definisjonen for minus uendelig er tilsvarende.

Definisjonen av grenseverdi kan også utvides til også å omfatte ${\displaystyle \pm \infty }$ som funksjonsverdier.^[2] En definisjon som uttrykker at en funksjon går mot uendelig kan skrives kompakt som

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\infty \qquad \Leftrightarrow \qquad (\forall M>0)(\exists \delta >0)(\ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>M\ )}$

For en kontinuerlig funksjon vil grenseverdien til funksjonen i et endelig punkt alltid være lik funksjonsverdien selv, og grenseverdien kan finnes ved direkte funksjonsberegning:

${\displaystyle \lim _{x\to 2}x^{2}=2^{2}=4}$

For en rasjonal funksjon kan en bruke L'Hôpitals regel til å bestemme grenseverdier, i tilfeller der både nevneren og telleren i funksjonen går mot null. I slike tilfeller kan «alt» skje:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\lim _{x\to 0+}{\frac {\sin x}{x}}\ =\ 1\\[5pt]&\lim _{x\to 0+}{\frac {e^{-x}}{x}}\ =\ 0\\[5pt]&\lim _{x\to 0+}{\frac {x}{e^{-x}}}\ =\ \infty \end{alignedat}}}$

Denne regel kan også brukes når nevneren går mot uendelig.

En reell følge kan betraktes som en funksjon fra mengden av naturlige tall inn i ${\displaystyle {\bf {R}}}$. Definisjonen av en grenseverdi er derfor tilsvarende som for grenseverdien til en funksjon når argumentet går mot uendelig.^[3]

En følge ${\displaystyle \lbrace x_{n}\rbrace }$ konverger mot verdien ${\displaystyle b}$ dersom det for et hvert reelt tall ${\displaystyle \epsilon >0}$ finnes et naturlig tall ${\displaystyle N}$, slik at

${\displaystyle n>N\Rightarrow |x_{n}-b|<\epsilon .}$

En følge kan ikke ha mer enn en grenseverdi.^[4]

Et utvalg av grenseverdier for følger:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}\ =\ 0\qquad p>0\\[5pt]&\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{p}}\ =\ 1\qquad p>0\\[5pt]&\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}\ =\ 1\\[5pt]&\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{a}}{(1+p)^{n}}}\ =\ 0\qquad p>0,\ a\in {\bf {R}}\\[5pt]&\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\ =\ e\end{alignedat}}}$

Den siste grenseverdien definerer eulertallet ${\displaystyle e}$.

Mengden av reelle tall er et spesialtilfelle av et metrisk rom, definert med metrikken

${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

For en funksjon ${\displaystyle f:U\rightarrow V}$, der både ${\displaystyle U}$ og ${\displaystyle V}$ er delmengder av metriske rom, definerer en grenseverdier tilsvarende som for en reell funksjon, ved å erstatte absoluttverdien med metrikken.^[5] Funksjon har grenseverdien ${\displaystyle b}$ når funksjonsargumentet nærmer seg den endelige verdien ${\displaystyle a}$, dersom det for et hvert reelt tall ${\displaystyle \epsilon >0}$ finnes et reelt tall ${\displaystyle \delta >0}$, slik at

${\displaystyle 0<d_{U}(x,a)<\delta \Rightarrow d_{V}(f(x),b)<\epsilon .}$

Her er ${\displaystyle d_{U}}$ og ${\displaystyle d_{V}}$ metrikken i henholdsvis ${\displaystyle U}$ og ${\displaystyle V}$.

En grenseverdi for en følge i et metrisk rom defineres tilsvarende.

For normerte vektorrom vil normen definere en metrikk:

${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$

I definisjon av en grenseverdi kan en la normen erstatte metrikken.^[6]

Anta at to funksjoner ${\displaystyle f(x)}$ og ${\displaystyle g(x)}$ begge er definert med en grenseverdi når funksjonsargumentet nærmer seg verdien ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\lim _{x\to a}f(x)=f_{0}\\\lim _{x\to a}g(x)=g_{0}\end{alignedat}}}$

Da gjelder regnereglene^[5]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\lim _{x\to a}(\ f(x)+g(x)\ )\ =\ f_{0}+g_{0}\\[5pt]&\lim _{x\to a}(\ f(x)g(x)\ )\ =\ f_{0}g_{0}\\[5pt]&\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}\ )\ =\ {\frac {f_{0}}{g_{0}}}\qquad g_{0}\neq 0\end{alignedat}}}$

Tilsvarende regneregler gjelder for følger.

For en reell funksjon ${\displaystyle f(x)}$ av én variabel kan en også definere ensidige grenseverdier, ofte kalt henholdsvis venstresidig og høyresidig grenseverdi.^[7] Anta at definisjonsområdet for funksjonen inneholder intervallet ${\displaystyle (a_{0},a)}$. Dersom ${\displaystyle f(x_{n})}$ for alle følger ${\displaystyle \lbrace x_{n}\rbrace }$ konvergerer mot verdien ${\displaystyle b^{-}}$ når ${\displaystyle n}$ går mot uendelig, så er ${\displaystyle b^{-}}$ den venstresidige grenseverdien i ${\displaystyle a}$. Det eksisterer mange skrivemåter for en venstresidig grenseverdi:

${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\ }$ eller ${\displaystyle \ \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\ }$ eller ${\displaystyle \ \lim _{x\nearrow a}\,f(x)\ }$ eller ${\displaystyle \ \lim _{x{\underset {<}{\to }}a}f(x)\ }$

Også en forenklet skrivemåte ${\displaystyle f(x-)}$ kan bli brukt.^[7]

En høyresidig grenseverdi ${\displaystyle b^{+}}$ defineres og skrives tilsvarende. En funksjon har en grenseverdi i ${\displaystyle a}$ hvis og bare hvis begge de to ensidige grenseverdiene eksisterer samt at de er like:

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\lim _{x\to a^{-}}f(x)}$

For en en reell funksjon av flere variable kan en definere en grenseverdie ved hjelp en norm i definisjonsmengden, men det er også mulig å definere itererte grenseverdier, ved suksessivt å ta en-dimensjonale grenser.^[8]

Gitt for eksempel funksjonen

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x-y}{x+y}}}$

For denne funksjonen kan en definere de to itererte grensene

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\lim _{x\to 0}\ [\lim _{y\to 0}f(x,y)]&=1\\[5pt]\lim _{y\to 0}\ [\lim _{x\to 0}f(x,y)]&=-1\end{alignedat}}}$

Generelt vil rekkefølgen av grenseverdiene i iterasjonen være avgjørende for resultatet. Dersom funksjonen har en grenseverdi i norm, så må all itererte grenseverdier være lik denne. Funksjonen i eksempelet over har altså ingen grenseverdi når ${\displaystyle \|(x,y)\|}$ går mot null.

En delfølge konstrueres ved å velge ut en uendeleig delmengde av elementene i en følge.^[9] Dersom det er mulig å konstruere en delfølge som konvergerer mot en grense ${\displaystyle b}$, så er ${\displaystyle b}$ en delfølgegrense for den opprinnelige følgen. En følge kan ha flere delfølgegrenser, uten selv å konvergere.

For en konvergent følge må alle delfølger ha samme grenseverdi som følgen selv.

Dersom mengden av delfølgegrenser ${\displaystyle A}$ til en gitt følge har en minste øvre skranke, en supremum, så defineres denne som limes superior for følgen. Dette skrives på formen

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup x_{n}=\sup A}$

Limes inferior defineres tilsvarende, som den største nedre skranken.

Et eksempel er gitt ved følgen der det ${\displaystyle n}$-te leddet er definert ved

${\displaystyle x_{n}=1+{\frac {(-1)^{n}}{n}}}$

Denne rekken konvergerer ikke, men den har delfølgegrenser lik null og 1. Lim sup er dermed lik 1 og lim inf lik null.

En diskontinuitet til en funksjon ${\displaystyle f(x)}$ i verdien ${\displaystyle x=a}$ kan studeres ved å se på de ensidige grenseverdiene til funksjonen. Dersom begge ensidige grenseverdier eksisterer, men ikke er lik en eventuell funksjonsverdi i ${\displaystyle a}$, så sies funksjonen å ha en diskontinuitet av første type i ${\displaystyle a}$. Alle andre diskontinuiteter er av andre type.^[7]

For en diskontinuitet av første type kan begge de to ensidige grenseverdiene være like, men ulike en eventuell funksjonsverdi i ${\displaystyle a}$. I dette tilfelle er diskontinuiteten en uvesentlig (eller fjernbar) diskontinuitet. Dersom de to ensidige grenseverdiene er ulike, så har funksjonen et sprang i ${\displaystyle a}$.

For ${\displaystyle x=0}$ har funksjonen vist i grafen til høyre en venstresidig grenseverdi lik null og en høyresidig grenseverdi lik 1. Funksjonen har et sprang i ${\displaystyle x=0}$.

En rekke er en sum med et uendelig antall ledd. Rekken har en grenseverdi dersom følgen av delsummer har en grenseverdi, det vil si dersom den følgende grenseverdien eksisterer:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i}^{n}x_{i}}$

Forenklet skriver en grenseverdien ved å sette inn tegnet for uendelig i summetegnet:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}=2}$

I teorien for integrasjon av en reell funksjon av én variabel forutsetter en vanligvis at funksjonen er begrenset og definert på et endelig intervall. Definisjonen av integralet kan imidlertid generaliseres til uekte integral, der disse forutsetningene ikke er oppfylte, ved å bruke grenseverdier. Et integral over et uendelig område kan for eksempel defineres slik:

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)dx}$

• Asymptote
• Opphopningspunkt

• W. Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis. Auckland: McGraw-Hill Book Company. ISBN 0-07-085613-3. 
• Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6.