Conica

Una seccion conica o conica es una corba definida en un plan, pels ponts qu'anullan un polinòmi quadratic de formula:

${\displaystyle (Ax^{2}+By^{2}+2Cxy)+(2Dx+2Ey)+F=0\,}$

ont A, B e C son non nuls.

Las seccions conicas son exactament aquelas corbas que, per un punt F, una linha L que conten pas F e un nombre non negatiu e, son los luòcs geomètrics dels punts la distància qu'a F es egala a e còps la sieuna distància a L. F se nomena fogal, L la directritz, e e l'excentricitat.

L'excentricitat lineària (c) es la distància entre lo centre e lo fogal(o quin que siá dels dos fogals).

Lo latus rectum (2ℓ) es la còrda parallela a la directritz e que passa pel fogal (o quin que siá dels dos fogals).

Lo semilatus rectum (ℓ) Es la mitat del latus rectum.

Lo paramètre focal (p) es la distància dempuèi lo fogual (o quin que siá los dos fogals) a la directritz.

Las relacions seguentas mantenon:

• ${\displaystyle pe=\ell \,}$
• ${\displaystyle ae=c.\,}$

Divèrses paramètres s'assòcian amb una seccion conica, coma o mòstra la taula seguenta. (Per l'ellipsa, la taula dona lo cas d'un > b, que l'axe màger es orizontal; pel cas contrari, l'escambi dels simbòls per e b . Per l'iperbòla, de l'oèst a l'èst. En totes los cases, a e b son positiu.)

Seccion conica	equacion	excentricitat (e)	excentricitat lineària (C)	semilatus rectum (ℓ)	Paramètre focal (p)
Cercle	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle a\,}$	${\displaystyle \infty }$
Ellipsa	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}$
Parabòla	${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle a\,}$	${\displaystyle 2a\,}$	${\displaystyle 2a\,}$
Iperbòla	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

Se pòt demostrar que, donat un polinòmi quadratic, es totjorn possible trobar un còn, real o imaginari, amb una interseccion amb lo plan que ven donada pel polinòmi d'origina. Dins lo cas real, es aisit trobar las deferentas possibilitats:

• Se lo plan passa pas pel vèrtex del còn, segon l'angle de interseccion trobam:
  • Ellipsa: Una corba tancada. Un cas particular d'ellipsa es una cercle se lo plan de l'ellipsa es perpendicular a l'axe del còn, es a dire, parallèl a la basa.
  • Paràbola: Una corba dobèrta.
  • Iperbòla: Doas corbas dobèrtas.
• Se lo plan passa pel vèrtex del còn:
  • Un punt
  • Una Drecha
  • Doas Drechas.

Las conica son pas res de mai qu'un cas particular de quadricas, coma las projeccions d'una superfícia conica sul plan.

La precedenta equacion la podèm escriure jos la forma matriciala${\displaystyle (Ax^{2}+By^{2}+2Cxy)+(2Dx+2Ey)+F=0\,}$${\displaystyle X^{\prime }MX=0\,}$

Ont:${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}\,}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&C&D\\C&B&E\\D&E&F\end{pmatrix}}\,}$

Segon la forma canonica qu'adòpta la mairitz , trobam las diferentas solucions qu'an las conicas (son de valors realas, diferentas de ):${\displaystyle M\,}$${\displaystyle a,b,m\,}$${\displaystyle 0\,}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1\,}$	ellipsa imaginària
${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}$	ellipsa Reala
${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0\,}$	Doas drechas imaginàrias non parallelas
${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}$	iperbòla
${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0\,}$	Doas drechas realas non parallelas
${\displaystyle y=mx^{2}\,}$	paràbola
${\displaystyle a^{2}x^{2}=-1\,}$	Doas drechas imaginàrias parallelas
${\displaystyle a^{2}x^{2}=1\,}$	Doas drechas realas parallelas
${\displaystyle mx^{2}=0\,}$	Doas drechas coïncidentas
${\displaystyle x=0\,}$	Una drecha reala

Existís tanben la possibilitat d'un ensems void e de la totalitat del plan.