Ensemble complementari

En teoria deis ensembles, estent un ensemble E dich ensemble referenciau, lo complementari d'una partida A de E es la partida de E definida coma l'ensemble de totei leis elements de E qu'apartènon pas a A. Es l'ensemble :

${\displaystyle \ E\setminus A=\{x\mid (x\in E)\wedge (x\notin A)\}}$:

Es tanben sonat : complementari de A a respècte de E.

Lo complementari de A es sovent notat :

${\displaystyle {\overline {A}}}$ o ${\displaystyle \ A^{c}}$ o encara ${\displaystyle \complement A}$.

Per defugir tota ambigüitat, en cas de necessitat, s'explicita l'ensemble referenciau E, e lo complementari de A a respècte de E se nòta:

${\displaystyle \complement _{E}A}$.

• L'ensemble A deis entiers naturaus pars es una partida de l'ensemble ${\displaystyle \ E=\mathbb {N} }$ deis entiers naturaus. Lo complementari de A a respècte de ${\displaystyle \ \mathbb {N} }$ es l'ensemble deis entiers naturaus impars.

• L'ensemble ${\displaystyle A=\mathbb {Q} }$ dei nombres racionaus es una partida de l'ensemble ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$ dei nombres reaus. Lo complementari de A a respècte de ${\displaystyle \ \mathbb {R} }$ es l'ensemble dei nombres irracionaus.

• En Calcul dei probabilitats, estent un espaci de probabilitat ${\displaystyle (\Omega ,\,{\mathcal {A}},\,P)}$, lo complementari ${\displaystyle {\overline {A}}=\Omega \setminus A}$ d'un eveniment A a respècte de l'ensemble univèrs ${\displaystyle \ \Omega }$ es un eveniment, sonat eveniment contrari de A.

L'ensemble referenciau se nòta E ; A e B son de partidas de E.

• ${\displaystyle {\overline {E}}=\varnothing }$

• ${\displaystyle {\overline {\varnothing }}=E}$

• Un element de E pòt pas èsser au còp dins A e dins son complementari :

${\displaystyle A\cap {\overline {A}}=\varnothing }$ (autrament dich : ${\displaystyle A{\text{ e }}{\overline {A}}}$ son desjonchs)

• Tot element de E es siá dins A siá dins lo complementari de A :

${\displaystyle A\cup {\overline {A}}=E}$

• Se A es diferent de l'ensemble vuege e de E, alora l'ensemble ${\displaystyle \ \{A,\,{\overline {A}}\,\}}$ es una particion de E.

• Lo complementari dau complementari d'una partida A es A :

${\displaystyle {\overline {\overline {A}}}=A}$

• Diferéncia ensemblista :

${\displaystyle A\setminus B=A\cap {\overline {B}}}$

• Lèis de De Morgan :

• Lo complementari de l'union de doas partidas de A es l'interseccion de sei complementaris :

${\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}}$.

• Lo complementari de l'interseccion de doas partidas de A es l'union de sei complementaris :

${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$.

• Pus generalament, estent una familha ${\displaystyle (A_{i})_{\,i\,\in \,I}}$ de partidas de E :

${\displaystyle {\overline {\bigcup _{\,i\,\in \,I}A_{i}}}=\bigcap _{\,i\,\in \,I}{\overline {A_{i}}}{\text{ e }}{\overline {\bigcap _{\,i\,\in \,I}A_{i}}}=\bigcup _{\,i\,\in \,I}{\overline {A_{i}}}}$

• Negacion logica