Funkcja meromorficzna – funkcja
f
,
{\displaystyle f,}
otwartym podzbiorze
D
{\displaystyle D}
płaszczyzny zespolonej , która jest funkcją holomorficzną w zbiorze
D
∖
S
,
{\displaystyle D\setminus S,}
S
{\displaystyle S}
punktów izolowanych , z których każdy jest biegunem funkcji
f
{\displaystyle f}
[1]
Termin ten pochodzi od greckiego meros (μέρος), oznaczającego „część”.
Funkcja Γ jako przykład funkcji meromorficznej Funkcjami meromorficznymi są:
wszystkie funkcje wymierne, np.
f
(
z
)
=
z
3
−
2
z
+
1
z
5
+
3
z
−
1
{\displaystyle f(z)={\frac {z^{3}-2z+1}{z^{5}+3z-1}}}
Funkcja logarytmiczna
f
(
z
)
=
ln
(
z
)
{\displaystyle f(z)=\ln(z)}
punkt rozgałęzienia (pokazano tu wykres jej części urojonej).
f
(
z
)
=
1
sin
(
z
)
{\displaystyle f(z)={\tfrac {1}{\sin(z)}}}
biegunach .
f
(
z
)
=
e
z
z
{\displaystyle f(z)={\frac {\mathrm {e} ^{z}}{z}}}
f
(
z
)
=
tan
(
z
)
{\displaystyle f(z)=\tan(z)}
f
(
z
)
=
sin
(
z
)
(
z
−
1
)
2
{\displaystyle f(z)={\frac {\sin(z)}{(z-1)^{2}}}}
Funkcja Γ (gamma Eulera),funkcja ζ (dzeta Riemanna)Funkcjami meromorficznymi nie są:
wszystkie (niewymierne) funkcje algebraiczne (np.
z
{\displaystyle {\sqrt {z}}}
funkcja logarytmiczna
f
(
z
)
=
ln
(
z
)
{\displaystyle f(z)=\ln(z)}
dowolna funkcja mająca punkt rozgałęzienia
f
(
z
)
=
e
1
z
{\displaystyle f(z)=\mathrm {e} ^{\frac {1}{z}}}
osobliwość gdzie indziej niż w nieskończonościwszystkie funkcje posiadające kumulację osobliwości (np.: punkt generujący szereg podziałów ).
Twierdzenia I
Twierdzenia II
Tw. 1 Każdą funkcję meromorficzną można wyrazić za pomocą ilorazu dwóch funkcji holomorficznych:
f
(
z
)
=
h
1
(
z
)
h
2
(
z
)
,
{\displaystyle f(z)={\frac {h_{1}(z)}{h_{2}(z)}},}
przy czym funkcja
h
2
{\displaystyle h_{2}}
0.
{\displaystyle 0.}
S
{\displaystyle S}
h
2
.
{\displaystyle h_{2}.}
Tw. 2 Jeżeli zbiór
D
{\displaystyle D}
spójny , to zbiór wszystkich określonych na nim funkcji meromorficznych tworzy ciało (które można utożsamiać z ciałem ułamków pierścienia funkcji holomorficznych w
D
{\displaystyle D}
Tw. 3 Funkcje meromorficzne można utożsamiać z odwzorowaniami powierzchni Riemanna
f
:
D
→
P
1
,
{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {P} _{1},}
gdzie
P
1
{\displaystyle \mathbb {P} _{1}}
sferę Riemanna , nazywana okresem funkcji
∞
.
{\displaystyle \infty .}
Przypisy
Bibliografia
