Funkcja η

Ten artykuł dotyczy funkcji specjalnej eta. Zobacz też: funkcja Dirichleta - funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych.

Ten artykuł od 2017-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji.

Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Funkcja eta Dirichleta – funkcja określona dla argumentów zespolonych, zdefiniowana jako:

${\displaystyle \eta (z)=\left(1-2^{1-z}\right)\zeta (z),}$

gdzie ${\displaystyle \zeta (z)}$ – funkcja dzeta Riemanna.

Lub w postaci równoważnej z wykorzystaniem szeregów nieskończonych:

${\displaystyle \eta (z)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{z}}}.}$

Można też przedstawić tę funkcję jako obliczenie całki w myśl wzoru:

${\displaystyle \eta (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {x^{z-1}}{\exp(x)+1}}\,dx,}$

gdzie ${\displaystyle \Gamma (z)}$ – funkcja gamma Eulera.

Należy zauważyć, że funkcję η warto rozłożyć na dwie funkcje – jej część rzeczywistą ${\displaystyle \Re (\eta (z))}$ i część urojoną ${\displaystyle \Im (\eta (z)).}$ Mają one własności:

${\displaystyle \Re (\eta (z))=\Re (\eta ({\overline {z}})),}$

${\displaystyle \Im (\eta (z))=-\Im (\eta ({\overline {z}})),}$

gdzie ${\displaystyle {\overline {z}}}$ oznacza sprzężenie zespolone liczby ${\displaystyle z.}$ Z ostatniego równania wynika, że funkcja η przyjmuje wartości rzeczywiste dla rzeczywistych z.

Ponadto możemy zapisać granicę:

${\displaystyle \lim _{\Re (z)\to \infty }\eta (z)=1.}$

Wynika z tego bezpośrednio, że ${\displaystyle \lim _{\Re (z)\to \infty }\Re (\eta (z))=1}$ i ${\displaystyle \lim _{\Re (z)\to \infty }\Im (\eta (z))=0,}$ co można zaobserwować od razu na wykresie poniżej.

• 
  Wykres funkcji η(x) dla osi rzeczywistej. Część urojona jest równa zeru.
• 
  Wykres funkcji η(z) dla całej płaszczyzny zespolonej. Odcień oznacza argument funkcji, zaś nasycenie reprezentuje jej moduł (im bliższy 0 tym ciemniejszy). Oś rzeczywista – poziomo, oś urojona – pionowo.