Kalendarz wieczny

Kalendarz wieczny, także kalendarz perpetualny – tabela lub wzór pozwalająca obliczyć określony dzień tygodnia w kalendarzu gregoriańskim dla każdej daty w postaci: dzień miesiąca, miesiąc, rok.

Kalendarz stuletni daje sprowadzić się do dość prostego algorytmu, który w pierwotnej wersji został zaproponowany przez Christiana Zellera w kolejnych publikacjach, które ukazywały się w latach 1882–1886 (m.in. w Acta Mathematica, vol.9 (1886–1887), pp.131–6). Formuła zaproponowana dla Zellera działa dla kalendarza gregoriańskiego oraz juliańskiego jednak była przeznaczona do liczenia przez ludzi, co może rodzić problemy przy liczeniu reszty z dzielenia dla niektórych dat^[1].

Algorytm Zellera został uproszczony i opublikowany w 1990 roku przez matematyka Mike'a Keitha do postaci^[2][1]:

nr dnia tygodnia = ([23m/9] + d + 4 + y + [z/4] - [z/100] + [z/400] - c) mod 7

gdzie

• [ ] oznacza część całkowitą liczby
• mod – funkcja modulo (reszta z dzielenia)
• m – (ang. month) numer miesiąca (od stycznia = 1 do grudnia = 12)
• d – (ang. day) numer dnia miesiąca
• y – (ang. year) rok
• z – rok z poprawką: z = y - 1 jeżeli m < 3; z = y, jeżeli m >= 3
• c – (ang. correction) korekta: c = 0, jeżeli m < 3; c = 2, jeżeli m >= 3
• nr dnia tygodnia należy przeliczać następująco: 0 – niedziela, 1 – poniedziałek, 2 – wtorek, 3 – środa, 4 – czwartek, 5 – piątek, 6 – sobota.

Zaletą wzoru Mike'a Keitha jest możliwość zapisania go w języku programowania C w jednej linii liczącej raptem 45 znaków^[3], co w funkcji wygląda tak:

int keith(int d, int m, int y)
{
  return (d+=m<3?y--:y-2,23*m/9+d+4+y/4-y/100+y/400)%7;
}

Formuła ta dotyczy obliczeń kalendarza gregoriańskiego.

Należy zwrócić uwagę, że kalendarz gregoriański został wprowadzony w katolickich krajach w XVI wieku oraz stopniowo w innych krajach Europy w kolejnych wiekach^[4][5]. Obliczenia kalendarza w uproszczonych wzorach nie biorą tego pod uwagę i zakładają, że liczy się dni wstecznie niezależnie tego czy dany kalendarz obowiązywał czy nie. Analogiczne obliczenia można wykonać dla kalendarza juliańskiego, a faktyczny dzień tygodnia musiałby być obliczony zależnie od tego który kalendarz obowiązywał w danym tygodniu^[6].

Mimo ew. uwzględnienia obowiązującego kalendarza algorytm Zellera i pokrewne nie biorą pod uwagę anomalii takich jak krótki wrzesień w 1752 roku, który również musiałby być uwzględniony przy datach sprzed XIX wieku m.in. w Wielkiej Brytanii^[7].

Poniżej podane są przykładowe implementacje w podstawowych językach programowania.

Zapis w języku Pascal algorytmu obliczania dnia tygodnia w kalendarzu gregoriańskim (bez ww. poprawki dla kalendarza juliańskiego):

function dzien_tygodnia(Year,Month,Day:word):string;
var M,C,D,N:integer;
const week:array[0..6]of string[12]=('Niedziela','Poniedziałek','Wtorek','Środa','Czwartek','Piątek','Sobota');
begin
	M := 1 + (Month + 9) mod 12 ; if M>10 then Dec(Year) ;
	C := Year div 100 ; D := Year mod 100 ;
	N := ((13*M-1) div 5 + D + D div 4 + C div 4 + 5*C + Day) mod 7 ;
	dzien_tygodnia:=week[N];
end;

• gdzie Month, Day = numer miesiąca i dnia miesiąca, Year = czterocyfrowy zapis roku, N = kod dnia tygodnia poczynając od niedzieli (0) do soboty (6),
• mod = funkcja modulo, div = funkcja dzielenia liczb całkowitych bez reszty z zaokrągleniem w dół, if ... then - funkcja warunkowa

Często wzór Zellera jest podawany w formie, w której występuje wartość 2*C zamiast 5*C, która to forma prowadzi jednak przy niektórych latach do wartości N - ujemnych oraz nie sprawdza się dla niektórych dat.

Funkcja napisana w C na podstawie algorytmu Zellera:

char* week[7]={"Niedziela","Poniedzialek","Wtorek","Sroda","Czwartek","Piatek","Sobota"};
int zeller(int d, int m, int y, int gr){
	int Y,C,M,N,D;
	M=1+(9+m)%12;
	Y=y-(M>10);
	C=Y/100;
	D=Y%100;
	if (gr==1) N=((13*M-1)/5+D+D/4+C/4+5*C+d)%7;
	else N=((13*M-1)/5+D+D/4+6*C+d+5)%7;
	return (7+N)%7;
}

Funkcja zwraca indeks do tablicy „week” (0 dla niedzieli). Parametr „gr” oznacza rodzaj kalendarza:

• gr==1 dla gregoriańskiego,
• gr!=1 dla juliańskiego.

Inny algorytm (z tym samym efektem) na podstawie analizy tablic zamieszczonych w Małej Encyklopedii Powszechnej PWN z 1959 r.

char* week[7]={"Niedziela","Poniedzialek","Wtorek","Sroda","Czwartek","Piatek","Sobota"};
int dow(int d, int m, int y, int gr)
{
  int mon[12]={0,1,1,2,5,6,2,3,4,0,1,4};
  int leap;
  int a,b,c;
  leap=(gr!=1&&y%4==0||gr==1&&(y%4==0&&y%100!=0||y%400==0));
  a=(y%100)%28;
  b=(gr!=1)*(4+(y%700)/100+2*(a/4)+6*((!leap)*(1+(a%4))+(leap)*((9+m)/12)))%7+
    (gr==1)*(2*(1+(y%400)/100+(a/4))+6*((!leap)*(1+(a%4))+(leap)*((9+m)/12)))%7;
  c=(3*mon[m-1]+d)%7;
  return (c+6*b)%7;
}

Na podstawie wzoru Zellera można w prosty sposób utworzyć tabele, które mogą one praktycznie obejmować dowolny okres^{[potrzebny przypis]}.

Przykładowy kalendarz dla lat 1901-2040:

Istnieje też inna wersja tabeli, mogąca obejmować wiele stuleci, począwszy od 1 roku n.e. Aby odnaleźć dzień tygodnia dla dowolnej daty, odnajdujemy:

1. W tablicy I a wiek, w tablicy I b rok, na skrzyżowaniu linii odczytamy cyfrę.

2. W tablicy II odczytamy cyfrę na skrzyżowaniu odnalezionej z tablicy I liczby oraz miesiąca. Dla lat przestępnych, oznaczonych kolorem czerwonym, styczeń i luty bierzemy również w ten sposób oznaczone.

3. W tablicy III na skrzyżowaniu liczby z tablicy II oraz daty, odnajdujemy dzień tygodnia poszukiwanej daty.

Przykład: 18 listopada 2010.

Z tablicy I skrzyżować a) Wieki „20” i b) Lata „10” (tj. 2010) = 6.

Z tablicy II skrzyżować cyfrę 6 i miesiąc „Lis” (listopad) = 2.

Z tablicy III skrzyżować cyfrę 2 z cyfrą 18 tj. dzień = „Czw”, czyli że dzień 18 listopada 2010 był czwartkiem.

• Kalendarz

• Omówienie wzoru Zellera. merlyn.demon.co.uk. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-07-29)]. (ang.). na stronie Dr J R Stockton.