Kategoria homotopijna

Ten artykuł od 2023-02 wymaga zweryfikowania podanych informacji.

Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Kategoria homotopijna – kategoria, w której obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami klasy homotopii odwzorowań między nimi. Kategoria ta często jest oznaczana HTop.

W HTop złożeniem dwóch morfizmów ${\displaystyle [f]}$ i ${\displaystyle [g]}$ (gdzie ${\displaystyle [\;]}$ oznaczają wzięcie klasy homotopii) jest:

${\displaystyle [f]\circ [g]=[f\circ g].}$

Definicja ta jest poprawna, gdyż jeśli odwzorowania ${\displaystyle f_{1}\sim f_{2}}$ i ${\displaystyle g_{1}\sim g_{2}}$ (są homotopijne), to odwzorowania ${\displaystyle f_{1}\circ g_{1}\sim f_{2}\circ g_{2}.}$

Zbiór wszystkich morfizmów z przestrzeni X do Y oznaczamy [X,Y], w odróżnieniu od ogólnego oznaczenia Hom(X,Y).

Głównym zadaniem teorii homotopii jest badanie zbioru [X,Y].

W topologii algebraicznej często zachodzi konieczność istnienia wyróżnionych punktów, które należy kontrolować. Wtedy mamy do czynienia z kategorią ${\displaystyle HTop_{*},}$ w której obiektami są pary ${\displaystyle (X,x_{0}),}$ gdzie X jest przestrzenią topologiczną i ${\displaystyle x_{0}\in X.}$ Morfizmami między ${\displaystyle (X,x_{0})}$ a ${\displaystyle (y,y_{0})}$ są klasy homotopii (relatywnie ${\displaystyle x_{0}}$) odwzorowań ${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0}),}$ tzn. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ oraz ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}.}$

Tak zdefiniowana kategoria ${\displaystyle HTop_{*}}$ pozwala na dobrze odkreślić funktor homotopii, który parze ${\displaystyle (X,x_{0})}$ przypisuje ${\displaystyle \pi (X,x_{0})}$ – grupy homotopii względem ${\displaystyle x_{0}.}$