Naprężenie główne

Naprężenie główne – wektor naprężenia normalnego ${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{n},}$ jakie występuje w takim punkcie przekroju poprzecznego ośrodka materialnego, w którym naprężenie styczne ${\displaystyle {\vec {\tau }}}$ ma wartość zerową^[1].

Poszukiwanie naprężeń głównych jest szczególnym przypadkiem zagadnienia własnego dla macierzy zawierającej elementy tensora naprężenia. Otrzymane wartości własne są naprężeniami głównymi, a wektory własne określają nową bazę takiego układu współrzędnych, w którym tensor naprężenia będzie miał postać diagonalną (a).

Większość używanych tensorów naprężenia jest symetryczna (z wyjątkiem np. niesymetrycznej teorii sprężystości bądź tensora Pioli-Kirchhoffa I rodzaju) więc naprężenia główne są rzeczywiste.

Naprężenia główne oznaczane są symbolami ${\displaystyle \sigma _{1},}$ ${\displaystyle \sigma _{2},}$ ${\displaystyle \sigma _{3}.}$ Tensor naprężenia w układzie współrzędnych wyznaczonym przez wektory własne będzie miał współrzędne:

(a)     ${\displaystyle \sigma _{ij}^{'}={\begin{pmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{pmatrix}}.}$

Umownie przyjmuje się kolejność: ${\displaystyle \sigma _{1}\geqslant \sigma _{2}\geqslant \sigma _{3}.}$

Naprężenia główne są pierwiastkami następującego równania^[2][3]:

${\displaystyle -\sigma ^{3}+I_{1}\sigma ^{2}-I_{2}\sigma +I_{3}=0,}$

gdzie:

${\displaystyle \sigma }$ – naprężenie normalne,

${\displaystyle I_{1},}$ ${\displaystyle I_{2},}$ ${\displaystyle I_{3}}$ – niezmienniki stanów naprężenia, które można obliczyć z następujących wzorów:

${\displaystyle I_{1}=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3},}$

${\displaystyle I_{2}={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1},}$

${\displaystyle I_{3}={\begin{vmatrix}\sigma _{ij}\end{vmatrix}}=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3},}$

w których ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ są naprężeniami głównymi.

Wartości niezmienników nie zmieniają się przy obrocie układu współrzędnych.

Trajektorią naprężenia głównego ${\displaystyle \sigma _{i}}$ nazywamy krzywą o tej własności, że kierunki stycznych do tej linii są równocześnie kierunkami tego naprężenia głównego. Znajomość trajektorii, głównych naprężeń rozciągających w betonie elementów konstrukcyjnych, stanowi podstawę właściwego projektowania rozkładu zbrojenia rozciąganego w tych elementach.