Nazwa porządek ciągły wskazuje na motywację, jaką było opisanie i konstrukcja prostej rzeczywistej jako obiektu ciągłego podana przez Dedekinda w jego pracy z 1872[2]. Wprowadzone przez niego warunki (i)-(iv) są, we współczesnym języku, stwierdzeniem że porządek liczb rzeczywistych jest ciągły (a kluczowa własność (iv) ma właśnie nazwę ciągłości).
W literaturze polskojęzycznej termin ten jest używany dość systematycznie[3][4][5]. We współczesnej literaturze angielskojęzycznej częściej używa się bardziej opisowego określenia gęsty zupełny porządek liniowy (complete dense linear order).
Porządek ciągły to taki gęsty porządek liniowy A w którym żadne właściwe cięcie w A nie ustala skoku w danym zbiorze A. Brak skoków jest powodem dla którego mówimy, że zbiór jest uporządkowany ciągle.
Definicje formalne
Niech będzie porządkiem liniowym.
Porządek jest porządkiem gęstym jeśli A ma przynajmniej dwa elementy oraz między dowolnymi dwoma elementami A znajduje się trzeci element, tzn.[potrzebny przypis]
Podzbiór porządku A jest ograniczony z góry jeśli istnieje element większy niż wszystkie elementy zbioru B, tzn. taki, że
Analogicznie podzbiór jest ograniczony z dołu jeśli istnieje element taki, że
Porządek jest ciągły jeśli jest to porządek gęsty oraz każdy podzbiór zbioru A jest ograniczony, tzn. ograniczony z góry i z dołu, czyli ma zarówno kres górny, jak i dolny.
↑Richard Dedekind: Stetigkeit und Irrationale Zahlen, 1872.
↑Richard Dedekind: Essays on the Theory of Number. Tłumaczenie angielskie essejów Stetigkeit und Irrationale Zahlen i Was sind und was sollen die Zahlen?: W.W. Beman. The Open Court Publishing Company, Londyn 1924. Strony 19-20.
↑Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005, s. 182, ISBN 83-01-14415-7.