Stożek (analiza funkcjonalna)

Stożek – uogólnienie pojęcia stożka (nieograniczonego) znanego ze stereometrii na przestrzenie liniowo-topologiczne (najczęściej przestrzenie Banacha). Stożek w przestrzeni unormowanej jest szczególnym przypadkiem tzw. klinu. Kliny / stożki wyznaczają w pewien naturalny sposób praporządek / porządek w przestrzeni, przez co znajdują zastosowanie w teorii równań różniczkowych w przestrzeniach Banacha.

W niniejszym artykule ${\displaystyle X}$ oznaczać będzie zawsze rzeczywistą przestrzeń liniowo-topologiczną.

Niepusty zbiór domknięty ${\displaystyle K\subseteq X}$ nazywamy klinem (w przestrzeni ${\displaystyle X}$), gdy dla każdych ${\displaystyle x,y\in K}$ oraz ${\displaystyle \alpha \geqslant 0}$

${\displaystyle x+y\in K}$

oraz

${\displaystyle \alpha x\in K.}$

Ponadto, klin nazywamy stożkiem, gdy spełniony jest warunek

${\displaystyle z\in K\wedge -z\in K\iff z=0.}$

Jeśli ${\displaystyle K}$ jest klinem w przestrzeni ${\displaystyle X,}$ to relacja ${\displaystyle \leqslant }$ dana warunkiem

${\displaystyle x\leqslant y\iff y-x\in K}$

jest praporządkiem. Ponadto, ${\displaystyle \leqslant }$ jest porządkiem częściowym wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle K}$ jest stożkiem. Praporządek ${\displaystyle \leqslant }$ wyznaczony przez klin ${\displaystyle K}$ ma dodatkowo następujące własności:

1. ${\displaystyle x,y,z\in X,x\leqslant y\Rightarrow x+z\leqslant y+z,}$
2. ${\displaystyle x,y\in X,\alpha \geqslant 0\Rightarrow \alpha x\leqslant \alpha y,}$
3. ${\displaystyle x,y,x_{n},y_{n}\in X,n\in \mathbb {N} ,x_{n}\leqslant y_{n},x_{n}\to x,y_{n}\to y\Rightarrow x\leqslant y.}$

• Zbiór ${\displaystyle \{0\}}$ jest stożkiem.
• Jeśli ${\displaystyle K\neq \{0\}}$ jest domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni ${\displaystyle X,}$ to jest ona klinem, ale nie jest stożkiem.
• Jeżeli ${\displaystyle x^{*}}$ jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na przestrzeni ${\displaystyle X,}$ to zbiór ${\displaystyle K=\{x\in X\colon \,x^{*}x\geqslant 0\}}$ jest klinem.
• Część wspólna dowolnej rodziny klinów (w danej przestrzeni) jest klinem.
• Przypomnijmy, że jeżeli ${\displaystyle A}$ jest zbiorem niepustym, to symbolem ${\displaystyle \ell ^{\infty }(A)}$ oznaczamy przestrzeń wszystkich ograniczonych odwzorowań ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ z normą supremum. Zbiór ${\displaystyle (\ell ^{\infty }(A))^{+},}$ zdefiniowany niżej, jest stożkiem w tej przestrzeni:

${\displaystyle (\ell ^{\infty }(A))^{+}=\{f\in \ell ^{\infty }(A)\colon f(x)\geqslant 0,\,x\in A\}.}$

• Jeżeli ${\displaystyle B\subseteq X}$ jest niepustym, domkniętym, ograniczonym zbiorem wypukłym takim, że ${\displaystyle 0\notin B,}$ to zbiór ${\displaystyle K=\{\alpha b\colon \alpha \geqslant 0,b\in B\}}$ jest stożkiem o niepustym wnętrzu.

• Jonathan M. Borwein; James V. Burke; Adrian S. Lewis: Differentiability of cone-monotone functions on separable Banach space, Proc. Amer. Math. Soc. 132 (2004), s. 1067–1076 [1].
• Karol Baron, Peter Volkmann: Characterization of the absolute value of complex linear functionals by functional equations, 10 pp., 2006-11-03.