Znak plus-minus

Ten artykuł od 2020-09 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł.

Należy dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł. Dodanie listy źródeł bibliograficznych jest problematyczne, ponieważ nie wiadomo, które treści one uźródławiają.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Ten artykuł dotyczy znaku matematycznego. Zobacz też: program telewizyjny o takiej nazwie i magazyn Plus Minus.

Znak plus-minus (±) jest symbolem o wielu znaczeniach.

• W matematyce – zazwyczaj oznacza wybór dokładnie dwóch wartości, z których jedną można uzyskać poprzez dodawanie, a drugą poprzez odejmowanie^[1][2].
• W naukach eksperymentalnych – oznacza przedział ufności lub rachunek błędów w pomiarze (m.in.: błąd standardowy oraz odchylenie standardowe)^[3]. Może również przedstawiać odczytywalny przedział wartości.
• W inżynierii – oznacza tolerancję, będącą przedziałem wartości uznawanych za akceptowalne, bezpieczne lub zgodne z ustalonym standardem lub kontraktem^[4].
• W botanice – używany w opisach morfologicznych, oznacza „mniej więcej”.
• W chemii – używany do mieszanin racemicznych^[5].
• W szachach – oznacza widoczną przewagę białych; znak ∓ oznacza widoczną przewagę czarnych^[6].

Wersja znaku plus-minus, łącznie z francuskim słowem ou („lub”), była użyta przez matematyka Alberta Girarda w 1626 roku. Współczesna forma była użyta już w 1631 roku w Clavis Mathematicae Williama Oughtreda^[7].

We wzorach matematycznych znak ± może zostać zastosowany jako zastępstwo znaków + i -. Pozwala to przedstawić dwie wartości lub równania naraz^[8].

Przykładowo, jednym ze sposobów na zapisanie wyniku równania ${\displaystyle x^{2}=9,}$ może być ${\displaystyle x=\pm 3.}$ Oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania, które można otrzymać poprzez zastąpienie ${\displaystyle x=\pm 3}$ przez ${\displaystyle x=+3}$ lub ${\displaystyle x=-3.}$ Tylko jedno z tych dwóch zastąpionych równań jest prawdziwe dla dowolnego prawidłowego rozwiązania.

Użycie tego typu notacji można zobaczyć we wzorze na miejsce zerowe funkcji kwadratowej:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Opisuje on dwa rozwiązania równania kwadratowego: ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

Również tożsamość trygonometryczna:

${\displaystyle \sin(A\pm B)=\sin(A)\cos(B)\pm \cos(A)\sin(B)}$

może być zinterpretowana jako skrót dla dwóch równań: jednego z + po obu stronach równania, oraz jednego z - po obu stronach równania. Obie kopie znaku ± w tej tożsamości muszą być zastąpione w ten sam sposób: nie można zamienić jednego z nich na +, a drugiego na -. W przeciwieństwie do funkcji kwadratowej, oba równania tożsamości są tak samo poprawne.

Znak minus-plus (∓) jest zazwyczaj używany w połączeniu ze znakiem ±, w wyrażeniach takich jak: ${\displaystyle x\pm y\mp z}$

• ${\displaystyle x\pm y\mp z}$ może oznaczać ${\displaystyle x+y-z}$ oraz ${\displaystyle x-y+z}$

• ${\displaystyle x\pm y\mp z}$ nie może oznaczać ${\displaystyle x+y+z}$ oraz ${\displaystyle x-y-z}$
• ${\displaystyle x\pm y\mp z}$ można zapisać jako ${\displaystyle x\pm (y-z),}$ aby uniknąć nieporozumienia, jednak w przypadku tożsamości najlepiej używać znaku ∓

Przykładowo: ${\displaystyle \cos(A\pm B)=\cos(A)\cos(B)\mp \sin(A)\sin(B)}$

reprezentuje dwa równania:

${\displaystyle \cos(A+B)=\cos(A)cos(B)-\sin(A)\sin(B),}$

${\displaystyle \cos(A-B)=\cos(A)cos(B)+\sin(A)\sin(B).}$

Innym przykładem, w którym pojawia się znak ∓, jest: ${\displaystyle x^{3}\pm 1=(x\pm 1)(x^{2}\mp x+1).}$

Jeszcze jedno pokrewne zastosowanie można zauważyć we wzorze na sinus szeregu Taylora:

${\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots \pm {\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}+\dots }$

W tym przypadku znak ± zaznacza, że termin może być dodany lub ujęty, w zależności od tego czy ${\displaystyle n}$ jest parzyste, czy nieparzyste. Innym sposobem zapisania tego samego wzoru byłoby pomnożenie każdego elementu przez ${\displaystyle (-1)^{n}.}$

Znak ± używany jest najczęściej przy przybliżonym przedstawianiu wartości liczbowej ilości, razem z jej tolerancją lub ze statystycznym marginesem błędu^[3]. Przykładowo, ${\displaystyle 5{,}7\pm 0{,}2}$ może znajdować się w dowolnym miejscu w zakresie od 5,5 do 5,9. W użyciu naukowym, ± odnosi się czasem do prawdopodobieństwa znalezienia się w podanym przedziale, odpowiadającym 1 lub 2 odchyleniom standardowym (68,3% lub 95,4% prawdopodobieństwo w rozkładzie Gaussa).

Operacje zawierające niepewne wartości powinny dążyć do zatrzymania niepewności, aby unikać propagacji błędu.

Symbole ± oraz ∓ są używane w notacji szachowej aby określić przewagę białych lub czarnych. Zazwyczaj używane są one do pokazania większej przewagi, niż w przypadku użycia + i −.

Symbol plus-minus przypomina chińskie znaki 土 („ziemia”) oraz 士 („uczeń”; „kawaler”).