Alzamendi, que atuou nos dois grandes clubes de seu país - Nacional e Peñarol -, teve seu momento mais marcante na Argentina, pelo River Plate. Entrou para a história do clube ao marcar o solitário gol da Copa Intercontinental de 1986, a primeira e única dos millonarios, cabeceando para as redes um rebote de um chute que ele próprio desferira.[1]
Ganhou outros dois títulos no River, também internacionais: a Libertadores e a Interamericana daquele 1986.[1] Acabaria escolhido o Futebolista Sul-Americano daquele ano. Mas, antes de destacar-se com a banda roja, fez sucesso também no Independiente, marcando 80 gols em 196 jogos de em três anos no clube de Avellaneda, onde foi fundamental para o título argentino de 1978. Um dos numerosos uruguaios que deram certo nos rojos, é justamente o segundo de seu país com mais atuações ali. Desenvolveu grande parceria de pensamento e execução de jogadas com o maestro Ricardo Bochini.[2][3]
Atuou pela seleção do seu país e logo após a aposentadoria como jogador, iniciou a carreira de técnico no Club Wanderers (de Durazno, Uruguay), em 1992. Como técnico, já atuou em clubes da América do Sul e Central, na Austrália, além de seleções de base do seu país natal.[4]
