Corpo de Levi-Civita

Corpo de Levi-Civita, em matemática, é um corpo descrito ^{[Nota 1]} pelo jovem matemático Tullio Levi-Civita, como um corpo ordenado que contém elementos infinitesimais e é Cauchy completo.^[1]

Um elemento x deste corpo pode ser escrito como a série formal de potências:

${\displaystyle x=x_{q_{1}}\epsilon ^{q_{1}}+x_{q_{2}}\epsilon ^{q_{2}}+x_{q_{3}}\epsilon ^{q_{3}}+\ldots \,}$

em que q_j são números racionais crescentes e x_q são números reais.^{[2][Nota 2]}

Neste corpo pode ser definida uma relação de ordem, e, para elementos positivos, é possível definir quando um número é infinitamente maior (ou menor) que outro: a > 0 é infinitamente menor que b > 0 (escreve-se a << b) quando, qualquer que seja n natural, n . a < b. Existem elementos infinitesimais e elementos infinitamente grandes neste corpo.^[3][2]

Neste corpo, com a topologia induzida pela ordem, toda sequência de Cauchy converge.^[4][2]

Neste corpo, assim como no corpo dos números reais, todo número positivo tem duas raízes quadradas, nenhum número negativo tem raiz quadrada, e todo número tem uma única raiz n-ésima, para n ímpar.^[5] O corpo é um corpo real fechado,^[2] ou seja, todo polinômio de grau ímpar tem raiz e todo número positivo tem raiz quadrada.^{[Nota 3]}

Este corpo é a menor ^{[Nota 4]} extensão dos reais que é um corpo ordenado não arquimediano, Cauchy completo e real fechado.^[2]

Notas e referências

Notas

Referências