Derivada direcional

Em matemática, a derivada direcional de uma função multivariável diferenciável ao longo de um dado vetor v em um dado ponto x intuitivamente representa a taxa instantânea de variação da função, movendo-se através de x com uma velocidade especificada por v. Ela, portanto, generaliza a noção de derivada parcial, em que a taxa de mudança é tomada ao longo de uma curva em um sistema de coordenadas curvilíneo, com todas as outras coordenadas sendo constantes.

A derivada direcional é um caso especial da derivada de Gâteaux.

Notação

Seja τ uma curva cujo vetor tangente em algum ponto escolhido é v. A derivada direcional de uma função f em relação a v pode ser representada das seguintes maneiras:

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} ),$
$f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} ),$
$D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} ),$
$Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} ),$
$\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} ),$
${\frac {\partial {f(\mathbf {x} )}}{\partial {\tau }}},$
$\mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )},$
$\mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.$

Definição

A derivada direcional de uma função da forma $z=f(x,y)$ na direção ${\vec {u}}$ tem por definição:

$D{\vec {u}}f(x,y)={df \over dx}{\scriptstyle {\text{u1}}}+{df \over dy}{\scriptstyle {\text{u2}}}$

Também pode ser escrita como o produto escalar: $D{\vec {u}}f(x,y)={\vec {\nabla }}f\centerdot {\vec {u}}$

Essa definição foi estabelecida para duas dimensões, mas pode ser generalizada para três dimensões. Teremos, portanto, uma função de três variáveis, w = f (x, y, z), que pode ser representada graficamente num sistema de coordenadas retangulares.

Esse produto escalar entre o gradiente de f e um vetor unitário ${\vec {u}}$ tem grandes implicações na matemática. Sejam algumas delas:

A derivada direcional será máxima e igual ao módulo do gradiente se o ângulo θ entre os vetores ${\vec {\nabla }}f$ e ${\vec {u}}$ for igual a zero.

${\textstyle D{\vec {u}}f(x,y)=\left\vert {\vec {\nabla }}f\right\vert \left\vert {\vec {u}}\right\vert \cos 0^{\circ }\therefore D{\vec {u}}f(x,y)=\left\vert {\vec {\nabla }}f\right\vert }$

A derivada direcional será mínima e igual a menos o módulo do gradiente se o ângulo θ entre os vetores ${\vec {\nabla }}f$ e ${\vec {u}}$ for igual a 180°.

$D{\vec {u}}f(x,y)=\left\vert {\vec {\nabla }}f\right\vert \left\vert {\vec {u}}\right\vert \cos 180^{\circ }\therefore D{\vec {u}}f(x,y)=-\left\vert {\vec {\nabla }}f\right\vert$

A derivada direcional será nula se $f(x,y)$ for uma curva de nível representada por $f(x,y)=k$ e ${\vec {u}}$ for um vetor tangente à curva de nível. Observando o produto escalar ${\vec {\nabla }}f\centerdot {\vec {u}}=0$ temos uma condição de perpendicularidade entre ${\vec {\nabla }}f$ e ${\vec {u}}$ , o que prova que o gradiente será normal à curva de nível $f(x,y)=k$ .

Usando apenas a direção do vetor

Em um espaço Euclidiano, alguns autores^[1] definem a derivada direcional como sendo relacionada a um vetor v arbitrário e não nulo depois de normalizado, sendo, pois, independente de sua magnitude e dependendo apenas de sua direção.

Esta definição fornece a taxa de crescimento de f por unidade de distância movida na direção dada por v. Neste caso, tem-se que

\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h|\mathbf {v} |}},

ou no caso de f ser diferenciável em x,

\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}.

Restrição para um vetor unitário

No contexto de uma função em um espaço Euclidiano, alguns textos restringem o vetor v a ser um vetor unitário. Com esta restrição, ambas as definições acima são equivalentes.^[2]

Propriedades

Muitas das propriedades familiares da derivada ordinária são mantidas para a derivada direcional. Estes incluem, para quaisquer funções f e g definidas e diferenciáveis em um ponto p, bem como em sua vizinhança:

regra da soma:
$\nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.$
regra do fator constante: para qualquer constante c,
$\nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.$
regra do produto (ou regra de Leibniz):
$\nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.$
regra da cadeia: se g é diferenciável em p e h é diferenciável em g(p), daí
$\nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).$

Em geometria diferencial

Seja $M$ uma variedade diferenciável e $p$ um ponto de $M$ . Suponha que $f$ é uma função definida em uma vizinhança de $p$ , e diferenciável em $p$ . Se $v$ é um vetor tangente a $M$ em $p$ , então a derivada direcional de $f$ ao longo de $v$ , denotada alternativamente como $df (v)$ , (consulte a derivada Covariante), (consulte a Derivada de Lie), ou, pode ser definido como se segue. Deixe $γ : [-1, 1] \to M$ ser uma curva diferenciável com $γ (0) = p$ e $γ'(0) = v$ . Então a derivada direcional é definida por

\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}.

Esta definição pode ser comprovada independentemente da escolha de $γ$ , desde que $γ$ seja selecionado da maneira descrita de modo que $γ'(0) = v$ .

A derivada de Lie

A derivada de Lie de um campo de vetores ao longo de um campo de vetores é dada pela diferença de duas derivadas direcionais:

{\mathcal {L}}_{V}W^{\mu }=(V\cdot \nabla )W^{\mu }-(W\cdot \nabla )V^{\mu }.

Em particular, para um campo escalar a derivada de Lie reduz-se à derivada direcional padrão:

{\mathcal {L}}_{V}\phi =(V\cdot \nabla )\phi .

O tensor de Riemann

Derivadas direcionais são usadas frequentemente em derivações introdutórias do tensor de curvatura de Riemann. Considere um retângulo curvado com um vetor infinitesimal δ ao longo de uma borda e δ′ ao longo da outra. Transladamos um covetor S ao longo de δ, em seguida, δ′ e, em seguida, subtraímos a translação ao longo de δ′ e, em seguida, de δ. Em vez de construir a derivada direcional usando derivadas parciais, usamos a derivada covariante. O operador de translação para δ é portanto

1+\sum _{\nu }\delta ^{\nu }D_{\nu }=1+\delta \cdot D,

e para δ′,

1+\sum _{\mu }\delta '^{\mu }D_{\mu }=1+\delta '\cdot D.

A diferença entre os dois caminhos é, então,

(1+\delta '\cdot D)(1+\delta \cdot D)S^{\rho }-(1+\delta \cdot D)(1+\delta '\cdot D)S^{\rho }=\sum _{\mu ,\nu }\delta '^{\mu }\delta ^{\nu }[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }.

Pode-se argumentar^[3] que a não comutatividade das derivadas covariantes mede a curvatura da variedade:

[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }=\pm \sum _{\sigma }R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }S_{\sigma },

onde R é o tensor de curvatura de Riemann e o sinal depende da convenção de sinais do autor.

Na teoria dos grupos

Translações

Na álgebra de Poincaré, podemos definir um operador de translação infinitesimal P como

\mathbf {P} =i\nabla .

(o i assegura que P é um operador autoadjunto). Para um deslocamento finito λ, a representação unitária do espaço de Hilbert para translações é^[4]

U(\mathbf {\lambda } )=\exp \left(-i\mathbf {\lambda } \cdot \mathbf {P} \right).

Usando a definição acima de operador de translação infinitesimal, vemos que o operador de translação finita é o exponencial de uma derivada direcional:

U(\mathbf {\lambda } )=\exp \left(\mathbf {\lambda } \cdot \nabla \right).

Este é um operador de translação, no sentido em que ele atua sobre funções multivariadas f(x) como

U(\mathbf {\lambda } )f(\mathbf {x} )=\exp \left(\mathbf {\lambda } \cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +\mathbf {\lambda } ).

Prova da última equação

A derivada de uma função suave f(x) é definida por (para um termo ε pequeno)

{\frac {df}{dx}}={\frac {f(x+\epsilon )-f(x)}{\epsilon }}.

Isto pode ser rearranjado para encontrar f(x+ε):

f(x+\epsilon )=f(x)+\epsilon \,{\frac {df}{dx}}=\left(1+\epsilon \,{\frac {d}{dx}}\right)f(x).

Daí, $[1+\epsilon \,(d/dx)]$ é uma operador de translação. Isto é instantaneamente generalizado^[5] para de funções com diversas variáveis f(x)

f(\mathbf {x} +\mathbf {\epsilon } )=\left(1+\mathbf {\epsilon } \cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ).

Aqui $\mathbf {\epsilon } \cdot \nabla$ é a derivada direcional ao longo do deslocamento infinitesimal ε. Encontramos a versão infinitesimal do operador translacional:

U(\mathbf {\epsilon } )=1+\mathbf {\epsilon } \cdot \nabla .

É evidente que a lei de multiplicação do grupo^[6] U(g)U(f)=U(gf) assume a forma

U(\mathbf {a} )U(\mathbf {b} )=U(\mathbf {a+b} ).

Então, suponha-se que tomemos um deslocamento finito λ e dividamos em N partes (N→∞ é implicado em todos os lugares), assim λ/N=ε. Em outras palavras,

\mathbf {\lambda } =N\mathbf {\epsilon } .

Então, aplicando U(ε) N vezes, podemos construir U(λ):

[U(\mathbf {\epsilon } )]^{N}=U(N\mathbf {\epsilon } )=U(\mathbf {\lambda } ).

Agora podemos conectar na expressão acima em U(ε):

[U(\mathbf {\epsilon } )]^{N}=\left[1+\mathbf {\epsilon } \cdot \nabla \right]^{N}=\left[1+{\frac {\mathbf {\lambda } \cdot \nabla }{N}}\right]^{N}.

Usando a identidade^[7]

\exp(x)=\left[1+{\frac {x}{N}}\right]^{N},

obtemos

U(\mathbf {\lambda } )=\exp \left(\mathbf {\lambda } \cdot \nabla \right).

Uma vez que U(ε)f(x)=f(x+ε), vamos encontrar

[U(\mathbf {\epsilon } )]^{N}f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +N\mathbf {\epsilon } )=f(\mathbf {x} +\mathbf {\lambda } )=U(\mathbf {\lambda } )f(\mathbf {x} )=\exp \left(\mathbf {\lambda } \cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ),

Q.E.D.

Como uma nota técnica, este procedimento só é possível porque o grupo de translação forma um subgrupo abeliano (subálgebra de Cartan) na álgebra de Poincaré. Em particular, a lei multiplicativa do grupo U(a)U(b)=U(a+b) não deve ser considerada. Também podemos notar que Poincaré é um grupo de Lie conectado. É um grupo de transformação T(ξ) que é descrito por um conjunto contínuo de parâmetros reais $\scriptstyle \xi ^{a}$ . A lei multiplicativa do grupo assume a foma

T({\bar {\xi }})T(\xi )=T(f({\bar {\xi }},\xi )).

Tomando $\scriptstyle \xi ^{a}$ =0 como as coordenadas da identidade, temos

f^{a}(\xi ,0)=f^{a}(0,\xi )=\xi ^{a}.

Os operadores no espaço de Hilbert são representados pelos operadores unitários U(T(ξ)). Na notação acima, foi suprimido o T; agora vamos escrever U(λ) como U(P(λ)). Para as vizinhança próxima à identidade, a série de potências pode ser representada como

U(T(\xi ))=1+i\sum _{a}\xi ^{a}t_{a}+{\frac {1}{2}}\sum _{b,c}\xi ^{b}\xi ^{c}t_{bc}+\cdots

Suponha que U(T(ξ)) forma uma representação sem projeção, isto é,

U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T(f({\bar {\xi }},\xi ))).

A expansão de f à segunda potência é

f^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a}+\sum _{b,c}f^{abc}{\bar {\xi }}^{b}\xi ^{c}.

Depois de expandir a equação de multiplicação de representação e equacionando os coeficientes, temos a condição não trivial

t_{bc}=-t_{b}t_{c}-i\sum _{a}f^{abc}t_{a}.

Uma vez que $\scriptstyle t_{ab}$ é por definição simétrica em seus índices, nós vamos ter o comutador padrão da álgebra de Lie:

[t_{b},t_{c}]=i\sum _{a}(-f^{abc}+f^{acb})t_{a}=i\sum _{a}C^{abc}t_{a},

sendo C a constante de estrutura. Os geradores para translação são operadores de derivadas parciais, que comutam:

\left[{\frac {\partial }{\partial x^{b}}},{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\right]=0.

Isso implica que as constantes de estrutura somem e então os coeficientes quadráticos na expansão de f somem também, o que significa que f é simplesmente aditiva:

f_{\text{abelian}}^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a},

e então para grupos abelianos,

U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T({\bar {\xi }}+\xi )).

Q.E.D.

Rotações

O operador rotacional também contém uma derivada direcional. O operador rotacional de um ângulo θ, isto é, por uma quantidade θ=|θ| em torno de um eixo paralelo a =θ/θ é

U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-i\mathbf {\theta } \cdot \mathbf {L} ).

Aqui L é o operador vetorial que gera SO(3):

\mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\mathbf {i} +{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {k} .

Pode ser demonstrado geometricamente que uma rotação infinitesimal dextrógira altera a posição do vetor x por

\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} -\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} .

Assim, nós esperaríamos de uma rotação infinitesimal:

U(R(\delta \mathbf {\theta } ))f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} -\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla f.

Segue que

U(R(\delta \mathbf {\theta } ))=1-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla .

Seguindo o mesmo procedimento de exponenciação acima, chegamos no operador rotacional na posição base, que é o exponencial de uma derivada direcional:^[8]

U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-(\mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla ).

Derivada normal

Uma derivada normal é uma derivada direcional tomada na direção normal (isto é, ortogonal) a alguma superfície no espaço, ou, mais geralmente, ao longo de um campo vetorial normal a alguma hipersuperfície. Veja, por exemplo, a condição de contorno de Neumann. Se a direção normal é denotada por $\mathbf {n}$ , então a derivada direcional de uma função f é às vezes denotada por ${\frac {\partial f}{\partial n}}$ . Em outras notações,

{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].

Na mecânica contínua de sólidos

Vários resultados importantes em mecânica contínua exigem as derivadas de vetores em relação aos vetores e de tensores em relação aos vetores e tensores.^[9] A derivada direcional proporciona uma forma sistemática de encontrar essas derivadas.

As definições de derivadas direcionais para várias situações são dadas abaixo. Presume-se que as funções são suficientemente suaves para que as derivadas possam ser tomadas.

Derivadas de funções vetoriais com imagem escalar

Seja $f(\mathbf {v} )$ uma função com imagem real do vetor $\mathbf {v}$ . Então a derivada de $f(\mathbf {v} )$ em relação a $\mathbf {v}$ na direção $\mathbf {u}$ é definida como

{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}

para todos os vetores $\mathbf {u}$ .

Propriedades:

Se $f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )+f_{2}(\mathbf {v} )$ então ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} .$
Se $f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )~f_{2}(\mathbf {v} )$ então ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)~f_{2}(\mathbf {v} )+f_{1}(\mathbf {v} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right).$
Se $f(\mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {v} ))$ então ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} .$

Derivadas funções vetoriais com imagem vetorial

Seja $\mathbf {f} (\mathbf {v} )$ uma função, com imagem vetorial, do vetor $\mathbf {v}$ . Então a derivada de $\mathbf {f} (\mathbf {v} )$ em relação a $\mathbf {v}$ na direção $\mathbf {u}$ é o tensor de segunda ordem definido como

{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}

para todos os vetores $\mathbf {u}$ .

Propriedades:

Se $\mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )$ então ${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} .$
Se $\mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )$ então ${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right).$
Se $\mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} ))$ então ${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {f} _{2}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right).$

Derivadas de funções de tensores de segunda ordem com imagem escalar

Seja $f(\mathbf {S} )$ uma função com imagem real do tensor de segunda ordem $\mathbf {S}$ . Então a derivada de $f(\mathbf {S} )$ em relação à $\mathbf {S}$ na direção $\mathbf {T}$ é o tensor de segunda ordem definido como

{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =Df(\mathbf {S} )[\mathbf {T} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {S} +\alpha \mathbf {T} )\right]_{\alpha =0}

para todos os tensores de segunda ordem $\mathbf {T}$ .

Propriedades:

Se $f(\mathbf {S} )=f_{1}(\mathbf {S} )+f_{2}(\mathbf {S} )$ então ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {S} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {S} }}\right):\mathbf {T} .$
Se $f(\mathbf {S} )=f_{1}(\mathbf {S} )~f_{2}(\mathbf {S} )$ então ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right)~f_{2}(\mathbf {S} )+f_{1}(\mathbf {S} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right).$
Se $f(\mathbf {S} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {S} ))$ então ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right).$

Derivadas de funções de tensores de segunda ordem com imagem tensorial

Seja $\mathbf {F} (\mathbf {S} )$ uma função com imagem tensorial de segunda ordem do tensor de segunda ordem $\mathbf {S}$ . Então a derivada de $\mathbf {F} (\mathbf {S} )$ em relação à $\mathbf {S}$ na direção $\mathbf {T}$ é o tensor de quarta ordem definido como

{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =D\mathbf {F} (\mathbf {S} )[\mathbf {T} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {F} (\mathbf {S} +\alpha \mathbf {T} )\right]_{\alpha =0}

para todos os tensores de segunda ordem $\mathbf {T}$ .

Propriedades:

Se $\mathbf {F} (\mathbf {S} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {S} )+\mathbf {F} _{2}(\mathbf {S} )$ então ${\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =\left({\frac {\partial \mathbf {F} _{1}}{\partial \mathbf {S} }}+{\frac {\partial \mathbf {F} _{2}}{\partial \mathbf {S} }}\right):\mathbf {T} .$
Se $\mathbf {F} (\mathbf {S} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {S} )\cdot \mathbf {F} _{2}(\mathbf {S} )$ então ${\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =\left({\frac {\partial \mathbf {F} _{1}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right)\cdot \mathbf {F} _{2}(\mathbf {S} )+\mathbf {F} _{1}(\mathbf {S} )\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {F} _{2}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right).$
Se $\mathbf {F} (\mathbf {S} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {F} _{2}(\mathbf {S} ))$ então ${\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} ={\frac {\partial \mathbf {F} _{1}}{\partial \mathbf {F} _{2}}}:\left({\frac {\partial \mathbf {F} _{2}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right).$
Se $f(\mathbf {S} )=f_{1}(\mathbf {F} _{2}(\mathbf {S} ))$ então ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {F} _{2}}}:\left({\frac {\partial \mathbf {F} _{2}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right).$

Veja também

Bibliografia

Hildebrand, F. B. Advanced Calculus for Applications. [S.l.: s.n.] ISBN 0-13-011189-9
K.F. Riley; M.P. Hobson; S.J. Bence. Mathematical methods for physics and engineering. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-521-86153-3
Strauch, I. Análise Vetorial em Dez Aulas.

Referências

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↑ Weinberg, Steven (1999). The quantum theory of fields Reprinted (with corr.). ed. Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. ISBN 9780521550017
↑ Zee, A. (2013). Einstein gravity in a nutshell. Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691145587
↑ Mexico, Kevin Cahill, University of New (2013). Physical mathematics Repr. ed. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211
↑ Edwards, Ron Larson, Robert, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable 9th ed. Belmont: Brooks/Cole. ISBN 9780547209982
↑ Shankar, R. (1994). Principles of quantum mechanics 2nd ed. New York: Kluwer Academic / Plenum. p. 318. ISBN 9780306447907
↑ J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, Mathematical Foundations of Elasticity, Dover.

Ligações externas

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Directional derivative

Derivadas direcionais em MathWorld.
Derivadas direcionais em PlanetMath.

[1] Thomas, George B. Jr.; and Finney, Ross L. (1979) Calculus and Analytic Geometry, Addison-Wesley Publ. Co., fifth edition, p. 593.

[2] Hughes-Hallet, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (1 de janeiro de 2012). Calculus : Single and multivariable. [S.l.]: John wiley. 780 páginas. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012

[3] Zee, A. (2013). Einstein gravity in a nutshell. Princeton: Princeton University Press. p. 341. ISBN 9780691145587

[4] Weinberg, Steven (1999). The quantum theory of fields Reprinted (with corr.). ed. Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. ISBN 9780521550017

[5] Zee, A. (2013). Einstein gravity in a nutshell. Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691145587

[6] Mexico, Kevin Cahill, University of New (2013). Physical mathematics Repr. ed. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211

[7] Edwards, Ron Larson, Robert, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable 9th ed. Belmont: Brooks/Cole. ISBN 9780547209982

[8] Shankar, R. (1994). Principles of quantum mechanics 2nd ed. New York: Kluwer Academic / Plenum. p. 318. ISBN 9780306447907

[Marsden00-9] J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, Mathematical Foundations of Elasticity, Dover.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Derivada direcional

Notação

Definição

Usando apenas a direção do vetor

Restrição para um vetor unitário

Propriedades

Em geometria diferencial

A derivada de Lie

O tensor de Riemann

Na teoria dos grupos

Translações

Rotações

Derivada normal

Na mecânica contínua de sólidos

Derivadas de funções vetoriais com imagem escalar

Derivadas funções vetoriais com imagem vetorial

Derivadas de funções de tensores de segunda ordem com imagem escalar

Derivadas de funções de tensores de segunda ordem com imagem tensorial

Veja também

Bibliografia

Referências

Ligações externas

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