Elemento primo

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Seja ${\displaystyle A}$ um anel comutativo. Um elemento ${\displaystyle x\in A^{*}}$ (onde ${\displaystyle A*}$ é o conjunto das unidades de ${\displaystyle A}$) é primo se ${\displaystyle x|ab}$ com ${\displaystyle a,b\in A}$ então ${\displaystyle x|a}$ ou ${\displaystyle x|b}$.

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Seja ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ um primo. Suponha ${\displaystyle x}$ composto então existem ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ com ${\displaystyle a<x}$ e ${\displaystyle b<x}$ tal que ${\displaystyle x=ab}$. Como ${\displaystyle x|x}$ logo ${\displaystyle x|ab}$ então ${\displaystyle x|a}$ ou ${\displaystyle x|b}$ que é contradição já que ${\displaystyle a<x}$ e ${\displaystyle b<x}$. Logo ${\displaystyle x}$ não é composto então x é irredutivel.

Agora seja ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ um irredutivel. Logo se ${\displaystyle x=ab}$ então ${\displaystyle x=a}$ ou ${\displaystyle x=b}$ logo ${\displaystyle x|a}$ ou ${\displaystyle x|b}$. Assim ${\displaystyle x}$ é primo.

Então um número natural em ${\displaystyle \mathbb {Z} \,}$ é primo se e só se ele for irredutivel.

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