Ao encontrarmos uma equação diferencial linear na seguinte forma

${\displaystyle a_{n}\,x^{n}{d^{n}y \over dx^{n}}+a_{n-1}\,x^{n-1}{d^{n-1}y \over dx^{n-1}}+...+a_{1}\,x{dy \over dx}+a_{0}\,y=g(x),}$

onde os coeficientes ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle a_{n-1}}$, . . . , ${\displaystyle a_{0}}$ são constantes, esta é conhecida como equação de Euler-Cauchy. A principal característica desse tipo de equação é que o grau ${\displaystyle k=n,\,n-1,...,1,0}$ dos coeficientes ${\displaystyle x^{k}}$ corresponde a ordem ${\displaystyle k}$ de diferenciabilidade ${\displaystyle d^{k}y \over dx^{k}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \downarrow \,\,\,\,\downarrow \qquad \qquad \quad \,\downarrow \quad \,\,\downarrow }$

${\displaystyle a_{n}x^{n}{d^{n}y \over dx^{n}}+a_{n-1}\,x^{n-1}{d^{n-1}y \over dx^{n-1}}+...}$

Nota: Para outros sentidos, procure Equação de Euler.

Uma análise minuciosa da forma da solução geral da equação homogênea de segunda ordem

${\displaystyle ax^{2}\,{d^{2}y \over dx^{2}}+bx{dy \over dx}+cy=0}$ ${\displaystyle (1)}$

A solução para equações de ordem superior é análoga. Também podemos resolver a equação não homogênea ${\displaystyle ax^{2}y''+bxy'+cy=g(x)}$ pelo método da variação de parâmetros, uma vez que houvermos determinado a ${\displaystyle y_{p}}$ particular.

Nota: O coeficiente ${\displaystyle ax^{2}}$ de ${\displaystyle y''}$ é zero em ${\displaystyle x=0}$. Assim concentraremos nossa atenção para encontrar as soluções gerais definidas no intervalo ${\displaystyle (0,\infty )}$. Soluções no intervalo ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ podem ser obtidas substituindo ${\displaystyle t=-x}$ na equação diferencial.

Vamos tentar uma solução da forma ${\displaystyle y=x^{m}}$, onde ${\displaystyle m}$ será determinado. De forma análoga com o que acontece quando substituímos ${\displaystyle e^{mx}}$ equação linear com coeficientes constantes, quando substituímos ${\displaystyle x^{m}}$, cada termo da equação de Euler-Cauchy se transforma em um polinômio em ${\displaystyle m}$ vezes ${\displaystyle x^{m}}$, como

${\displaystyle a_{k}x^{k}{dk^{y} \over dx^{k}}=a_{k}x^{k}m(m-1)(m-2)...(m-k+1)x^{m-k}=a_{k}m(m-1)(m-2)...(m-k+1)x^{m}}$

Por exemplo, quando substituímos ${\displaystyle y=x^{m}}$, a equação de segunda ordem se torna

${\displaystyle ax^{2}{d^{2}y \over dx^{2}}+bx{dy \over dx}+cy=am(m-1)x^{m}+bmx^{m}+cx^{m}=[am(m-1)+bm+c]x^{m}}$

Assim ${\displaystyle y=x^{m}}$ é uma solução da equação diferencial sempre que ${\displaystyle m}$ é solução da equação auxiliar

${\displaystyle am(m-1)+bm+c=0}$ ou ${\displaystyle am^{2}+(b-a)m+c=0}$ ${\displaystyle (2)}$

Existem três casos diferentes para serem considerados, dependendo se as raízes dessa equação quadrática são reais e distintas, reais e iguais, ou complexas. No último caso as raízes são um par conjugado.

Sejam ${\displaystyle m_{1}}$ e ${\displaystyle m_{2}}$ as raízes reais e distintas de ${\displaystyle (2)}$ tal que ${\displaystyle m_{1}\neq m_{2}}$. Então ${\displaystyle y_{1}=x^{m_{1}}}$ e ${\displaystyle y_{2}=x^{m_{2}}}$ formam um conjunto fundamental de soluções. Donde a solução geral é dada por

${\displaystyle y=C_{1}x^{m_{1}}+C_{2}x^{m_{2}}.}$

Se as raízes de ${\displaystyle (2)}$ são iguais (${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$) então conhecemos apenas uma solução, ${\displaystyle y_{1}=t^{m_{1}}}$, da equação de Euler-Cauchy. Aplicamos, então, o Método de d'Alambert para descobrir uma segunda solução ${\displaystyle y_{2}}$ linearmente independente de ${\displaystyle y_{1}}$. Procuramos ${\displaystyle y_{2}}$ da forma ${\displaystyle y_{2}=vy_{1}}$. Substituindo em ${\displaystyle (1)}$, temos:

${\displaystyle t^{2}(v''y_{1}+2v'y_{1}'+vy_{1}'')+at(v'y_{1}+vy_{1}')+bvy_{1}=0.}$
Agrupando os termos, obtemos:

${\displaystyle t^{2}y_{1}v''+(2t^{2}y_{1}'+aty_{1})v'+(t^{2}y_{1}''+aty_{1}'+by_{1})v=0}$

Mas como o argumento de ${\displaystyle v}$ é a própria equação de segunda ordem de Euler-Cauchy e sabemos que a mesma é igual a zero, temos:

${\displaystyle t^{m_{1}+2}v''+(2m_{1}t^{m_{1}+1}+at^{m_{1}+1})v'=0}$

Simplificando:

${\displaystyle tv''+(2m_{1}+a)v'=0.}$ ${\displaystyle (3)}$

Veja que a equação ${\displaystyle (2)}$ reescrevendo como ${\displaystyle m^{2}+(a-1)m+b=0}$. Logo, se ela tem raiz dupla é porque ${\displaystyle (a-1)^{2}-4b=0}$. Neste caso, a raiz dupla é

${\displaystyle m_{1}=m_{2}={1-a \over 2}.}$

Daí, ${\displaystyle 2m_{1}+a=1.}$ Substituindo em ${\displaystyle (3)}$, obtemos:

${\displaystyle tv''+v'=0,}$

que é redutível à primeira ordem. Considerando ${\displaystyle z=v'}$ obtemos

${\displaystyle t\,{dz \over dt}+z=0}$

Separando as variáveis, temos

${\displaystyle {dz \over z}={-dt \over t}}$

Integrando e escolhendo uma constante de integração como sendo ${\displaystyle 0}$, encontramos ${\displaystyle \ln z=-\ln t}$, de onde segue

${\displaystyle v'=z=t^{-1}}$

Ao integrarmos novamente, temos ${\displaystyle v=\ln t}$ e, por fim

${\displaystyle y_{2}=t^{m_{1}}\ln t}$

Conclusão: se a equação algébrica ${\displaystyle (2)}$ tem raiz real dupla ${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$, duas soluções linearmente independentes para a equação de Euler-Cauchy de segunda ordem são

${\displaystyle y_{1}=t^{m_{1}}}$ e ${\displaystyle y_{2}=t^{m_{1}}\ln t}$.

Se as raízes de ${\displaystyle (2)}$ são o par conjugado ${\displaystyle m_{1}=\alpha +i\beta ,\,\,m_{2}=\alpha -i\beta }$, onde ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle >0}$ são reais, então uma das soluções é

${\displaystyle y=C_{1}x^{\alpha +i\beta }+C_{2}x^{\alpha -i\beta }.}$

Porém, quando as raízes da equação quadrática auxiliar são complexas, como no caso de equações com coeficientes constantes, temos que escrever a solução apenas em termos de funções reais. Para tanto, usamos a identidade a seguir:

${\displaystyle x^{i\beta }=(e^{\ln x})^{i\beta }=e^{i\beta \ln x},}$

que, pela Fórmula de Euler, é o mesmo que

${\displaystyle x^{i\beta }=\cos(\beta \ln x)+i\operatorname {sen} {\beta \ln x}.}$

Similarmente,

${\displaystyle x^{-i\beta }=\cos(\beta \ln x)-i\operatorname {sen} {\beta \ln x}.}$

Somando e subtraindo os últimos dois resultados temos

${\displaystyle x^{i\beta }+x^{-i\beta }=2\cos(\beta \ln x)}$ e ${\displaystyle x^{i\beta }-x^{i\beta }=2i\operatorname {sen}(\beta \ln x),}$

respectivamente. A partir do fato de que ${\displaystyle y=C_{1}x^{\alpha +i\beta }+C_{2}x^{\alpha -i\beta }}$ é uma solução para qualquer valor que as constantes assumirem, vemos, por sua vez, para ${\displaystyle C_{1}=C_{2}=1}$ e ${\displaystyle C_{1}=1,\,C_{2}=-1}$ que

${\displaystyle y_{1}=x^{\alpha }(x^{i\beta }+x^{-i\beta })}$ e ${\displaystyle y_{2}=x^{\alpha }(x^{i\beta }-x^{-i\beta })}$

ou ${\displaystyle y_{1}=2x^{\alpha }\cos(\beta \ln x)}$ e ${\displaystyle y_{2}=2ix^{\alpha }\operatorname {sen}(\beta \ln x)}$

também são soluções. Já que ${\displaystyle W(x^{\alpha }\cos(\beta \ln x),x^{\alpha }\operatorname {sen}(\beta \ln x))=\beta x^{2\alpha -1}\neq 0,\,\,\beta >0}$ no intervalo ${\displaystyle (0,\infty )}$, concluímos que

${\displaystyle y_{1}=x^{\alpha }\cos(\beta \ln x)}$ e ${\displaystyle y_{2}=x^{\alpha }\operatorname {sen}(\beta \ln x)}$

constituem um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial.Portanto a a solução geral é

${\displaystyle y=x^{\alpha }[C_{1}\cos(\beta \ln x)+C_{2}\operatorname {sen}(\beta \ln x)].}$

Referências