Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.

Пусть ${\displaystyle K}$ — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль ${\displaystyle A}$ над кольцом ${\displaystyle K}$, в котором для заданного билинейного отображения (билинейного не над полем, а над кольцом ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle f\colon A\times A\rightarrow A}$ определено произведение согласно равенству ${\displaystyle ab=f(a,b)}$, называется алгеброй над ${\displaystyle K}$ или ${\displaystyle K}$-алгеброй.

Согласно определению, для всех ${\displaystyle k,\;l\in K}$ и ${\displaystyle a,\;b,\;c\in A}$ справедливы соотношения:

1. ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$
2. ${\displaystyle (a+b)c=ac+bc}$
3. ${\displaystyle (k+l)a=ka+la}$
4. ${\displaystyle k(a+b)=ka+kb}$
5. ${\displaystyle k(la)=(kl)a}$
6. ${\displaystyle k(ab)=(ka)b=a(kb)}$
7. ${\displaystyle 1a=a}$, где ${\displaystyle 1}$ — единица кольца ${\displaystyle K}$

Относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.

Для ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b\in A}$ коммутатор определён равенством ${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$. ${\displaystyle K}$-алгебра называется коммутативной, если ${\displaystyle [a,b]=0}$.

Для ${\displaystyle a,b,c\in A}$ ассоциатор определён равенством ${\displaystyle (a,b,c)=(ab)c-a(bc)}$. ${\displaystyle K}$-алгебра называется ассоциативной, если ${\displaystyle (a,b,c)=0}$.

Если существует элемент ${\displaystyle e\in A}$ такой, что ${\displaystyle ea=ae=a}$ для всех ${\displaystyle a\in A}$, то ${\displaystyle e}$ называется единицей алгебры ${\displaystyle A}$, а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия ${\displaystyle k(ab)=(ka)b=a(kb)}$ требуют более слабое: ${\displaystyle k(ab)=(ka)b}$.

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение ${\displaystyle na}$ (где ${\displaystyle n}$ — целое число) обычно, то есть как сумму ${\displaystyle n}$ копий ${\displaystyle a}$. Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если вместо билинейного отображения ${\displaystyle f}$ выбрать полилинейное отображение ${\displaystyle g:A^{n}\rightarrow A}$ и определить произведение согласно правилу: ${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}=g(a_{1},\dots ,a_{n})}$, то полученная алгебраическая структура называется ${\displaystyle n}$-алгеброй.

Если алгебра ${\displaystyle A}$ над коммутативным кольцом ${\displaystyle K}$ является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом ${\displaystyle K}$. Если алгебра ${\displaystyle A}$ имеет конечный базис, то алгебра ${\displaystyle A}$ называется конечномерной.

Если ${\displaystyle K}$ является полем, то, по определению, ${\displaystyle K}$-алгебра является векторным пространством над ${\displaystyle K}$, а значит, имеет базис.

Базис конечномерной алгебры обычно обозначают ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$. Если алгебра имеет единицу ${\displaystyle e}$, то обычно единицу включают в состав базиса и полагают ${\displaystyle e_{0}=e}$. Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения:

${\displaystyle e_{i}e_{j}=C_{ij}^{k}e_{k}}$.

А именно, если ${\displaystyle a=a^{k}e_{k}}$, ${\displaystyle b=b^{k}e_{k}}$, то произведение можно представить в виде:

${\displaystyle ab=C_{ij}^{k}a^{i}b^{j}e_{k}}$.

Величины ${\displaystyle C_{ij}^{k}\in K}$ называются структурными константами алгебры ${\displaystyle A}$.

Если алгебра коммутативна, то:

${\displaystyle C_{ij}^{k}=C_{ji}^{k}}$.

Если алгебра ассоциативна, то:

${\displaystyle C_{ij}^{k}C_{ml}^{j}=C_{im}^{j}C_{jl}^{k}}$.

Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем ${\displaystyle K}$ в качестве гомоморфного образа можно получить любую ассоциативно-коммутативную алгебру над ${\displaystyle K}$.

Возможно рассматривать алгебру ${\displaystyle A}$ над коммутативным кольцом ${\displaystyle K}$ как модуль ${\displaystyle A}$ над коммутативным кольцом ${\displaystyle K}$. Отображение ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ алгебры ${\displaystyle A}$ над коммутативным кольцом ${\displaystyle K}$ в алгебру ${\displaystyle B}$ над кольцом ${\displaystyle K}$ называется линейным, если:

${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$,

${\displaystyle f(ka)=kf(a)}$.

для любых ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b\in A}$, ${\displaystyle k\in K}$. Множество линейных отображений алгебры ${\displaystyle A}$ в алгебру ${\displaystyle B}$ обозначается символом ${\displaystyle {\mathcal {L}}(A;B)}$.

Линейное отображение ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ алгебры ${\displaystyle A}$ в алгебру ${\displaystyle B}$ называется гомоморфизмом, если ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$ для любых ${\displaystyle a,b\in A}$, а также выполнено условие: если алгебры ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ имеют единицу, то:

${\displaystyle f(e_{A})=e_{B}}$.

Множество гомоморфизмов алгебры ${\displaystyle A}$ в алгебру ${\displaystyle B}$ обозначается символом ${\displaystyle H(A;B)}$.

Очевидно, что ${\displaystyle H(A;B)\subseteq {\mathcal {L}}(A;B)}$.

Общие:

• алгебры квадратных матриц
• алгебры многочленов
• алгебра формальных степенных рядов

Алгебры над полем вещественных чисел:

• комплексные числа
• двойные числа
• дуальные числа
• кватернионы

• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.