Начал карьеру во втором по значимости рангу шведском чемпионате Allsvenskan в клубе «Рёгле», в котором провел провел 4 сезона, с 2002 по 2006 года. Сезон 2006—2007 Александр провел в третьем по значимости рангу шведском чемпионате за клуб Olofströms IK, в котором был на ведущих ролях. После одного сезона в Olofströms, Александр вернулся во второй по значимости рангу шведский чемпионат и провел 2 сезона с 2007 по 2009 года в команде «Оскарсхамн». После провел 2 сезона 2009—2011 в команде «Буос». Сезон 2011—2012 провел в родном для себя клубе «Рёгле», поле которого на один сезон перебрался в «Мальмё». С сезона 2013 по 2016 выступал за команду «Карлскруна», с которым пробился в сильнейшую шведскую хоккейную лигу SHL. В сезоне 2017—2018 Александр Бергстрём выступал за новосибирскую «Сибирь» и стал лидером Сибири в 55 играх набрав 41 очко (21+20) и став вторым бомбардиром.
Международная
Александр призывался под знамёна сборной для участия в этапах Еврохоккейтура в сезонах 2009/10, 2014/15, 2015/16 и 2017/18, также он выступал на Олимпийских играх 2018 в составе сборной Швеции в 4 играх набрав 1 очко (0+1).
