Матвей Ветлугин начал заниматься фигурным катанием в 2007 году в спортивной школе «Москвич» в группе тренера Людмилы Сапроновой[1]. Под её руководством он получил звание мастера спорта России[4].
В 2018 году дебютировал на международном уровне. На этапе Гран-при среди юниоров, состоявшемся в Ричмонде, Ветлугин занял 6-е место[5]. В следующем году принял участие в этапе юниорского Гран-при в Лейк-Плэсиде, где стал десятым[6].
Сезон 2020/2021 начался достаточно удачно. Ученик Сапроновой стал победителем этапов Кубка России в Москве[7] и Сочи[8], гарантировав себе участие в ключевом турнире — первенстве России среди юниоров. Однако Матвею пришлось завершить сезон из-за рецидива травмы ноги[источник не указан 298 дней].
Сезон 2021—2022
В 2021 году Ветлугин перешёл к другому тренеру и начал тренироваться в Санкт-Петербурге под руководством Алексея Мишина.
В начале нового сезона переболел COVID-19, а затем перенёс операцию на голеностопе[источник не указан 298 дней].
В октябре 2021 года принимал участие в III этапе Кубка России в Сочи, где занял 7 место с суммой баллов 211,25[9]. В ноябре того же года участвовал в V этапе Кубка, проходившего в Перми. С итоговым результатом 204,63 спортсмен занял 2 место[10].
В начале 2022 года Ветлугин успешно выступил на чемпионате Санкт-Петербурга и в финале Кубка России, где занял 1 и 3 место соответственно[11][12].
Сезон 2022—2023
Ветлугин начал сезон с участия в V этапе Гран-при России. В короткой программе спортсмен расположился на промежуточном 5 месте, имея 85,12 балла. В произвольной программе занял 4-е место, однако по сумме двух программ остался пятым с результатом 245,60[13]. После этого Матвей принял участие в VI этапе серии в Перми, где занял 6-е место с суммой баллов 232,83[14].
На чемпионате России Матвей Ветлугин шёл на промежуточном 4-м месте, набрав 98,57 балла за короткую программу. В произвольной программе допустил два падения и с итоговым результатом 239 баллов занял 10 место[15][16].
Благодаря занятым на этапах 5 и 6 местам Ветлугин был лишь третьим запасным в заявке на финал российской серии Гран-при. Однако благодаря снятиям трёх других спортсменов он оказался в списке участников финала[17]. В короткой программе Ветлугин ошибся на четверном тулупе и допустил падение на тройном акселе и набрал 77,36 балла. В произвольной программе также допустил ряд ошибок и с суммой 232,17 занял итоговое 11 место[18].
