Кружевное зацепление

В теории узлов кружевное зацепление (или крендельное зацепление) — это специальный вид зацепления. Кружевное зацепление, являющееся также узлом (то есть зацеплением с одной компонентой), называется кружевным узлом, крендельным узлом или просто кренделем.

В стандартной проекции кружевное зацепление ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$^[1] имеет ${\displaystyle p_{1}}$ левосторонних скруток в первом плетении^{[англ.][2]}, ${\displaystyle p_{2}}$ во втором и, в общем случае, ${\displaystyle p_{n}}$ в n-ом.

Кружевное зацепление можно описать как зацепление Монтезиноса^[англ.] с целым числом переплетений.

Кружевное зацепление ${\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$ является узлом тогда и только тогда, когда и ${\displaystyle n}$, и все ${\displaystyle p_{i}}$ являются нечётными или в точности одно из чисел ${\displaystyle p_{i}}$ чётно ^[3].

Кружевное зацепление ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ является разводимым^[англ.], если по меньшей мере два ${\displaystyle p_{i}}$ равны нулю. Однако обратное неверно.

Кружевное зацепление ${\displaystyle (-p_{1},-p_{2},\dots ,-p_{n})}$ является отражением кружевного зацепления ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$.

Кружевное зацепление ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ эквивалентно (то есть гомотопически эквивалентно на S³) кружевному зацеплению ${\displaystyle (p_{2},\,p_{3},\dots ,\,p_{n},\,p_{1})}$. Тогда, также, кружевное зацепление ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ эквивалентно кружевному зацеплению ${\displaystyle (p_{k},\,p_{k+1},\dots ,\,p_{n},\,p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{k-1})}$^[3].

Кружевное зацепление ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\,\dots ,\,p_{n})}$ эквивалентно кружевному зацеплению ${\displaystyle (p_{n},\,p_{n-1},\dots ,\,p_{2},\,p_{1})}$. Однако если ориентировать зацепление в каноническом виде, эти два зацепления имеют противоположную ориентацию.

Кружевной узел (1, 1, 1) — это (правосторонний) трилистник, а узел (−1, −1, −1) является его зеркальным отражением.

Кружевной узел (5, −1, −1) — это стивидорный узел (6₁).

Если p, q и r являются различными нечётными числами, большими 1, то кружевной узел (p, q, r) является необратимым.

Кружевное зацепление (2p, 2q, 2r) — это зацепление, образованное тремя связанными тривиальными узлами.

Кружевной узел (−3, 0, −3) (прямой узел) является связной суммой двух трилистников.

Кружевное зацепление (0, q, 0)) — это разводимое зацепление^[англ.] тривиального узла с другим узлом.

Зацепление Монтесиноса — это специальный вид зацепления, обобщающее кружевные зацепления (кружевное зацепление можно считать зацеплением Монтесиноса с целыми переплетениями). Зацепление Монтесиноса, являющееся также узлом (то есть, зацепление с одной компонентой) является узлом Монтесиноса.

Зацепление Монтесиноса состоит из нескольких рациональных плетений^[англ.]. Одним из обозначений зацепления Монтесиноса является ${\displaystyle K(e;\alpha _{1}/\beta _{1},\alpha _{2}/\beta _{2},\ldots ,\alpha _{n}/\beta _{n})}$ ^[4].

В этих обозначениях ${\displaystyle e}$ и все ${\displaystyle \alpha _{i}}$ и ${\displaystyle \beta _{i}}$ являются целыми числами. Зацепление Монтесиноса, заданное таким обозначением, состоит из суммы^[англ.] рациональных плетений, заданных целым числом ${\displaystyle e}$, и рациональных плетений ${\displaystyle \alpha _{1}/\beta _{1},\alpha _{2}/\beta _{2},\ldots ,\alpha _{n}/\beta _{n}}$

Кружевные зацепления (−2, 3, 2n + 1) особенно полезны при изучении 3-многообразий. В частности, для этих многообразий многие результаты были установлены на основе хирургии Дена^[англ.] на кружевном узле (−2,3,7)^[англ.].

Гиперболический объём дополнения кружевного зацепления (−2,3,8) равен учетверённой постоянной Каталана, примерно 3,66. Это кружевное зацепление является одним из двух гиперболических многообразий с двумя каспами с минимальными возможными объёмами, второе многообразие является дополнением зацепления Уайтхеда²⁰¹⁰.

• Ian Agol. The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2010. — Т. 138, вып. 10. — doi:10.1090/S0002-9939-10-10364-5.

• Hale F. Trotter. Non-invertible knots exist // Topology. — Pergamon Press, 1963. — Т. 2. — С. 275—280.
• Akio Kawauchi. A survey of knot theory. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-5124-1.
• Heiner Zieschang. Classification of Montesinos knots // Topology / A. Dold, B. Eckmann/Ludwig D.Faddeev, Arkadii A. Mal’cev. General and Algebraic Topology, and Applications. Proceeding of the International Topological Conference held in Leningrad, August 23-27, 1982. — Berlin Heidelberg: Springer, 1984. — Т. 1060. — (Lecture Notes in Mathematics/USSR). — ISBN 3-540-13337-2. — ISBN 0-387-13337-2.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.