Математический маятник

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения^[1]. Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины ${\displaystyle L}$, подвешенного в поле тяжести, равен

${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {L \over g}}}$

и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения.

Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный физический маятник при малых амплитудах колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Математический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам).

При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса ${\displaystyle L}$, а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса^[1]. Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее.

Если в записи второго закона Ньютона ${\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {F}}}$ для математического маятника выделить тангенциальную составляющую (${\displaystyle ma_{\tau }=F_{\tau }}$), получится выражение

${\displaystyle mL{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta }$,

так как ${\displaystyle a_{\tau }={\dot {v}}=d/dt(Ld\theta /dt)}$, а из действующих на точку сил тяжести и натяжения ненулевую компоненту ${\displaystyle F_{\tau }}$ даёт только первая. Следовательно, колебания маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0}$,

где неизвестная функция ${\displaystyle \theta (t)}$ ― это угол отклонения маятника в момент ${\displaystyle t}$ от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах, ${\displaystyle L}$ ― длина подвеса, ${\displaystyle g}$ ― ускорение свободного падения. Предполагается, что потерь энергии в системе нет. В области малых углов ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$ это уравнение превращается в

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\theta =0}$.

Для решения ДУ второго порядка, то есть для определения закона движения маятника, необходимо задать два начальных условия — угол ${\displaystyle \theta }$ и его производную ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ при ${\displaystyle t=0}$.

В общем случае решение ДУ с начальными условиями для маятника может быть получено численно. Варианты движения (в случае, если маятник — это материальная точка на лёгком стержне), качественно, представлены на анимации. В каждом окне вверху показана зависимость угловой скорости ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ от угла ${\displaystyle \theta }$. По мере нарастания размаха поведение маятника всё сильнее отклоняется от режима гармонических колебаний.

• 
  Маятник висит
• 
  Малые колебания (размах 45°)
• 
  Колебания с размахом 90°
• 
  Колебания с размахом 135°
• 
  Колебания с размахом 170°
• 
  Фиксация в верхнем положении
• 
  Движение близкое к сепаратрисе
• 
  Вращение маятника

Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия, когда уместна замена ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$, называется гармоническим уравнением:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+\omega _{0}^{2}\theta =0}$,

где ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {g/L}}}$ ― положительная константа, определяемая только из параметров маятника и имеющая смысл собственной частоты колебаний. Кроме того, может быть осуществлён переход к переменной «горизонтальная координата» ${\displaystyle x=L\sin \theta \approx L\theta }$ (ось ${\displaystyle x}$ лежит в плоскости качания и ортогональна нити в нижней точке):

${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0}$.

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону^[2]:

${\displaystyle x=A\sin(\omega _{0}t+\alpha )}$,

где ${\displaystyle A}$ — амплитуда колебаний маятника, ${\displaystyle \alpha }$ — начальная фаза колебаний.

Если пользоваться переменной ${\displaystyle x}$, то при ${\displaystyle t=0}$ необходимо задать координату ${\displaystyle x_{0}}$ и скорость ${\displaystyle v_{x0}}$, что позволит найти две независимые константы ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \alpha }$ из соотношений ${\displaystyle x_{0}=A\sin \alpha }$ и ${\displaystyle v_{x0}=A\omega _{0}\cos \alpha }$.

Вновь запишем полученное нами ДУ.

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0}$,

Выполним интегрирование обеих частей уравнения по ${\displaystyle \theta }$:

${\displaystyle \int {\ddot {\theta }}d\theta +\int {\frac {g}{L}}\sin \theta d\theta =\int 0d\theta }$,

Легко видеть, что

${\displaystyle \int {\ddot {\theta }}d\theta =\int {\dot {\theta }}d{\dot {\theta }}={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}}$,

Тогда

${\displaystyle {\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{L}}\cos \theta =const}$,

Получившаяся постоянная интегрирования, как легко видеть, равна${\displaystyle \quad \varepsilon ={\frac {E}{mL^{2}}}}$, где E - энергия математического маятника. Теперь подставим ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {g/L}}}$:

${\displaystyle {\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-\omega _{0}^{2}\cos \theta =\varepsilon }$,

Прибавим к обеим частям ${\displaystyle \omega _{0}^{2}}$:

${\displaystyle {\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+\omega _{0}^{2}(1-\cos \theta )=\varepsilon +\omega _{0}^{2}}$,

${\displaystyle 1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$,

${\displaystyle {\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+2\omega _{0}^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=\varepsilon +\omega _{0}^{2}}$,

Как легко видеть, в этом уравнении можно разделить переменные. Для этого заметим, что

${\displaystyle {d\theta \over dt}={\sqrt {2\varepsilon +2\omega _{0}^{2}-4\omega _{0}^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}$,

Теперь разделяем переменные

${\displaystyle \int {d{\theta \over 2} \over {\sqrt {{\varepsilon +\omega _{0}^{2} \over 2}-\omega _{0}^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}=t+const}$,

Умножим обе части уравнения на ${\displaystyle \omega _{0}}$:

${\displaystyle \int {d{\theta \over 2} \over {\sqrt {{\varepsilon +\omega _{0}^{2} \over 2\omega _{0}^{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}=\omega _{0}t+const}$,

Обозначим ${\displaystyle \varkappa ^{2}={\frac {\varepsilon +\omega _{0}^{2}}{2\omega _{0}^{2}}}}$, физический смысл этого коэффициента - максимальный синус угла отклонения маятника:

${\displaystyle \int {d{\theta \over 2} \over {\sqrt {\varkappa ^{2}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}=\omega _{0}t+const}$,

${\displaystyle \int {d{\theta \over 2} \over \varkappa {\sqrt {1-{\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}} \over \varkappa ^{2}}}}}=\omega _{0}t+const}$,

Выполним замену переменных

${\displaystyle \sin \varphi ={\sin {\frac {\theta }{2}} \over \varkappa }}$,

${\displaystyle \int {\varkappa \cos \varphi d{\varphi } \over \varkappa {\sqrt {1-\sin ^{2}\varphi }}{\sqrt {1-\varkappa ^{2}\sin ^{2}\varphi }}}=\omega _{0}t+const}$,

Отсюда

${\displaystyle \int {d{\varphi } \over {\sqrt {1-\varkappa ^{2}\sin ^{2}\varphi }}}=\omega _{0}t+const}$,

Учитывая произвольность константы, можно утверждать, что

${\displaystyle \sin \varphi =\operatorname {sn} (\omega _{0}t+const;\varkappa ),}$

где ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ — это синус Якоби. Для ${\displaystyle \varkappa <1}$ он является периодической функцией, при малых ${\displaystyle \varkappa }$ совпадает с обычным тригонометрическим синусом. Выполняя обратную замену и полагая константу равной нулю(чего всегда можно добиться правильным выбором начала отсчёта времени), получим закон движения для больших амплитуд

${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\varkappa \cdot \operatorname {sn} (\omega _{0}t;\varkappa ),}$

Период колебаний нелинейного маятника составляет

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\Omega }},\quad \Omega ={\frac {\pi }{2}}{\frac {\omega _{0}}{K(\varkappa )}}}$,

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

${\displaystyle T=T_{0}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\dots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\dots \right\}}$

где ${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$ — период малых колебаний, ${\displaystyle \theta _{0}}$ — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈ 60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

${\displaystyle T=T_{0}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)}$.

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года^[3]:

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{M{\big (}\cos(\theta _{0}/2){\big )}}}{\sqrt {\frac {L}{g}}}}$,

где ${\displaystyle M(s)}$ — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и ${\displaystyle s}$ (здесь ${\displaystyle s=\cos(\theta _{0}/2)}$).

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

• Если амплитуда колебания маятника близка к ${\displaystyle \pi }$, то есть движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения^[4].
• Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
• В условиях вращения Земли при достаточно длинной нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).

• Физический маятник
• Маятник Фуко
• Маятник Дубошинского

• Коллекция Java-апплетов, моделирующая поведение математических маятников, в частности маятника Капицы.
• Java-апплет, моделирующий колебание математического маятника при наличии вязкого трения с черчением фазовой траектории.
• Учебный фильм «Математический и физический маятник», производство СССР

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (20 октября 2024)