Джозеф активно начал свою карьеру в 2003 году, появившись в паре телевизионных проектов. Он пробовался на роль Маттиаса в драме «Eroica». Его следующая роль — Трой в сериале «Hex». Трой, поразительно красивый студент, любимец девушек Мэденхэм Холла. Его герою также удавалось быть предметом зависти мужского пола. Тем не менее, за маской жестокого парня-мачо скрывается застенчивый и неуверенный в себе молодой человек, таким образом пытающийся замаскировать свою неуверенность.
После съёмок в фильмах «Hex» и «Александр» Морган получил роль Каллума в сериале «Уильям и Мэри» и участвовал в съёмках 3-х из его эпизодов. В 2006 году Морган присоединился к TV-проекту Кеннет Уильямс: «Fantabulosa!» в роли Алфи. Его следующим проектом стал мини-сериал на ВВС2 «Линии красоты».
За этим последовали выступления в драме «Мэнсфилд парк» (режиссёр Ян Б. МакДональд). Морган принял участие в фильме «Мистер одиночество», где изобразил легендарного Джеймса Дина. Вскоре он проходил кастинг на роль Мэтью Уильямса в шоу «Безмолвный свидетель», который появлялся в паре эпизодов проекта «Страдают дети». В 2007 году Морган участвовал в кастинге на роль Мика Мейбли в сериале «Доктор Мартин». В 2008 году актёр подписал контракт на работу над фильмом «The Grind», криминальным триллером, одну из главных ролей в котором сыграла Зои Таппер.
В 2010 году он сыграл главную роль в мини-сериале «Бен Гур», который впервые вышел в эфир на телеканалах CBC в Канаде и ABC TV в Америке 4 апреля 2010 года[7][8].
С 2011 года Морган исполняет роль Клауса в телесериале «Дневники вампира». С 2013 по 2018 годы исполнял так же главную роль в спин-оффе «Дневников вампира» — сериале «Древние». В 2022 году появился в качестве приглашённой звезды в последнем эпизоде спин-оффа «Наследие (телесериал, 2018)». Сам Морган заявлял, что это появление — прощание с ролью.
Личная жизнь
Морган познакомился с актрисой Персией Уайт на съемках «Дневников вампира». Они начали встречаться в 2011 году и обручились в 2014 году[9]. Они поженились 5 июля 2014 года в Очо-Риос, Ямайка[10].