Подмногообразие

Подмногообразие ― термин, используемый для нескольких схожих понятий в общей топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.

В узком смысле слова топологическое ${\displaystyle n}$-мерное подмногообразие ${\displaystyle N}$ топологического ${\displaystyle m}$-мерного многообразия ${\displaystyle M}$ ― такое подмножество ${\displaystyle N\subset M}$, которое в индуцированной топологии является ${\displaystyle n}$-мерным многообразием.

В широком смысле слова топологическое ${\displaystyle n}$-мерное подмногообразие топологического ${\displaystyle m}$-мерного многообразия ${\displaystyle M}$ ― такое ${\displaystyle n}$-мерное многообразие ${\displaystyle N}$, которое как множество точек является подмножеством ${\displaystyle M}$ (иными словами, ${\displaystyle N}$ ― это подмножество ${\displaystyle M}$, снабженное структурой ${\displaystyle n}$-мерного многообразия) и для которого тождественное вложение ${\displaystyle i:N\to M}$ является погружением.

Подмногообразие в узком смысле является подмногообразиями в широком смысле, а последнее является подмногообразием в узком смысле тогда и только тогда, когда ${\displaystyle i}$ есть вложение в топологическом смысле (т. е. у каждой точки ${\displaystyle p\in N}$ имеется сколь угодно малые окрестности в ${\displaystyle N}$, являющиеся пересечениями с ${\displaystyle N}$ некоторых окрестностей в ${\displaystyle M}$).

• Число ${\displaystyle m-n}$ называется коразмерностью подмногообразия ${\displaystyle N}$.
• Подмножество ${\displaystyle N\subset M}$ является локально плоским подмногообразием, если для каждой точки ${\displaystyle p\in N}$ имеются такая окрестность ${\displaystyle U}$ этой точки в ${\displaystyle M}$ и такие локальные координаты ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{m}}$ в ней, что в терминах этих координат ${\displaystyle N\cap U}$ описывается уравнениями ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n+2}=...=x_{m}=0}$.
  • Если при этом локальные координаты могут быть выбраны гладкими, то подмногообразие называется гладким подмногообразием.

В алгебраической геометрии подмногообразие ― замкнутое подмножество алгебраического многообразия в топологии Зарисского.

Этим формализуется идея, что подмногообразие задается алгебраическим уравнениями. Помимо перехода от ${\displaystyle \mathbb {R} }$ к другим полям, изменение понятия подмногообразие в этом случае состоит в том, что допускаются подмногообразия с особенностями.