Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану[3]. Из определения следует, что величина полного угла равна 2π радиан (см. рис. справа).
Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла[4][5].
Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна α ∙ R.
Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная.
В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом[6]. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная[7] безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad[8].
Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является числоодин. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду[9].
Кратные и дольные единицы
Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется
набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.
Кратные
Дольные
величина
название
обозначение
величина
название
обозначение
101 рад
декарадиан
дарад
darad
10−1 рад
децирадиан
драд
drad
102 рад
гекторадиан
град
hrad
10−2 рад
сантирадиан
срад
crad
103 рад
килорадиан
крад
krad
10−3 рад
миллирадиан
мрад
mrad
106 рад
мегарадиан
Мрад
Mrad
10−6 рад
микрорадиан
мкрад
µrad
109 рад
гигарадиан
Град
Grad
10−9 рад
нанорадиан
нрад
nrad
1012 рад
терарадиан
Трад
Trad
10−12 рад
пикорадиан
прад
prad
1015 рад
петарадиан
Прад
Prad
10−15 рад
фемторадиан
фрад
frad
1018 рад
эксарадиан
Эрад
Erad
10−18 рад
атторадиан
арад
arad
1021 рад
зеттарадиан
Зрад
Zrad
10−21 рад
зепторадиан
зрад
zrad
1024 рад
йоттарадиан
Ирад
Yrad
10−24 рад
иокторадиан
ирад
yrad
1027 рад
роннарадиан
Рнрад
Rrad
10−27 рад
ронторадиан
рнрад
rrad
1030 рад
кветтарадиан
Кврад
Qrad
10−30 рад
квекторадиан
кврад
qrad
рекомендовано к применению применять не рекомендуется не применяются или редко применяются на практике
Связь радиана с другими единицами
Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:
где α[рад] — угол в радианах, a[°] — угол в градусах.
1 рад (или ) = (мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)
(или 1 рад в минутах) =
(или 1 рад в секундах) =
В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.
Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа () делаем именованное () и поэтому должны множить на или ;
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на или либо же умножать на перевёрнутую
дробь
Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса, и однократного деления на (как правило, этот способ более точен)
При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.
При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее , приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше , — то до шестого знака после запятой[12]:
История
Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной[13]. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы[14].
↑David E. Joyce.Measurement of Angles(англ.). Dave's Short Trig Course. Clark University. Дата обращения: 8 сентября 2015. Архивировано 7 сентября 2015 года.
↑Производная единица измерения называется когерентной, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице.
↑ 1234Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.
(точность нарушается в четвертом знаке после запятой)
(точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой) Именно поэтому промежутки шкал(ы) на счётной линейке имеют пределы и ; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки (Панов Д. Ю. Счётная линейка. — 25-е изд. — М.: изд-во Наука (Гл. ред. физ.-мат. литературы), 1982. — 176 с.)
↑O'Connor, J. J.; Robertson, E. F.Biography of Roger Cotes (неопр.). The MacTutor History of Mathematics (февраль 2005). Дата обращения: 3 февраля 2014. Архивировано 24 сентября 2012 года.
↑Luckey, Paul. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi (нем.) / Siggel, A.. — Berlin: Akademie Verlag, 1953. — S. 40.