Отец Деми — Ламберт Схюрс[нидерл.] — бывший профессиональный гандболист, сыгравший с 1981 по 1995 год за Нидерланды 312 матчей, что является рекордом для его сборной. Младший брат — Перр является футболистом и выступает за «Торино» в чемпионате Италии.
Спортивная карьера
Схюрс специализируется на выступлениях в парном разряде. На юниорском этапе карьеры в 2011 году она смогла выиграть Открытый чемпионат Австралии (в дуэте с Ан-Софи Местах) и Открытый чемпионат США (с Ириной Хромачёвой) в парном разряде среди девушек. Первого взрослого титула Деми добилась летом 2010 года, победив на 10-тысячнике из цикла ITF в Бельгии. Её дебют в WTA-туре состоялся в июне 2011 года, когда она сыграла в основной парной сетке турнира в Хертогенбосе. В феврале 2012 года Схюрс провела первый матч в составе сборной Нидерландов в розыгрыше Кубка Федерации. В марте 2014 года она выиграла единственный титул в одиночном разряде, взяв его на 10-тысячнике ITF в Египте. К февралю 2015 в активе голландской теннисистки было 15 парных побед на турнирах из цикла ITF.
В апреле 2015 года Схюрс в альянсе с Исалин Бонавентюре выиграла свой первый титул WTA, взяв его на грунтовом турнире в Катовице. Следующей трофей в туре она завоевала в июле того же года, когда в команде с Оксаной Калашниковой победила в Бухаресте. Самой серьезной победы в 2016 году Схюрс добилась на 100-тысячнике ITF в Кань-сюр-Мере в команде с Кристиной-Андреей Миту. За сезон она один раз попала в финал турнира WTA — в сентябре в Ташкенте.
2017 год Схюрс начала с выхода в финал турнира в Окленде в паре с Ренатой Ворачовой. В июне с соотечественницей Кики Бертенс она вышла в парный финал турнира на траве в Хертогенбосе, а в июле с бельгийкой Элизе Мертенс сыграла в финале в Бухаресте. В сентябре Мертенс и Схюрс смогли выиграть парный приз турнира в Гуанчжоу.
Отлично для себя Схюрс стартовала в сезоне 2018 года. В январе она победила на турнирах в Брисбене (с Бертенс) и Хобарте (с Мертенс). В мае она выиграла первый в карьере турнир серии Премьер. Произошло это на престижном турнире в Риме, где Деми разделила свой успех с австралийкой Эшли Барти. Через неделю после победы в Риме Деми отпраздновала ещё одну победу, выиграв турнир в Нюрнберге в партнёрстве с Катариной Среботник. Эти результаты позволили теннисистке из Нидерландов впервые подняться в топ-20 мирового парного рейтинга. На Открытом чемпионате Франции Схюрс лучше всего сыграла в миксте, где совместно с Матве Мидделкопом вышла в четвертьфинал. В июне она выиграла свой пятый в сезоне парный титул WTA, одержав победу в Хертогенбосе в дуэте с Элизой Мертнес. Через неделю в Бирмингеме их пара смогла выйти в финал. На Уимблдонском турнире Схюрс сыграла в 1/4 финала соревнований в миксте в команде с Жаном-Жюльеном Ройером.
В августе 2018 года сотрудничество с Эшли Барти принесло ещё один титул — на турнире серии Премьер 5 в Монреале. На следующем турнира такого же уровня в Цинциннати Схюрс сыграла уже в паре с Мертенс и смогла выйти в финал. Эти результаты позволили Деми войти в топ-10 парного рейтинга. На Открытом чемпионате США пара Мертенс и Схюрс доиграла до четвертьфинала. В сентябре их дуэт выиграл титул серии премьер 5 в Ухане, обыграв в финале дуэт Андреа Сестини Главачкова и Барбора Стрыцова в двух сетах. В октябре она смогла подняться на самую высокую в карьере — 7-ю строчку парного рейтинга.
В 2019 году Схюрс выступала на турнирах в основном в паре с немкой Анной-Леной Грёнефельд. Первого совместного финала они достигли в феврале на турнире в Дохе. В мае они вышли в финал в Риме, а в июне в Бирмингеме. На Уимблдоне они добрались до четвертьфинала. В августе они вышли в финал двух турниров серии Премьер 5 в Торонто и Цинциннати. На Итоговом турнире WTA
Грёнефельд и Схюрс смогли выйти в полуфинал. По итогу сезона Деми заняла 14-е место парного рейтинга.
В августе 2020 года Схюрс в паре с Кветой Пешке выиграла первый за два года титул — на турнире серии Премьер 5, который в том году был перенесён в Нью-Йорк. На Открытом чемпионате США их дуэт доиграл до четвертьфинала. В сентябре в команде с Николь Мелихар Схюрс смогла выиграть титул на грунтовом турнире в Страсбурге.
В 2021 году Мелихар и Схюрс продолжили совместные выступления и на Открытом чемпионате Австралии смогли выйти в полуфинал. В феврале на турнире в Дохе они смогли увести главный приз, а в апреле выиграли ещё один титул серии Премьер в Чарлстоне. В мае на турнире Премьер высшей категории в Мадриде Схюрс выступила в партнёрстве с Габриэлой Дабровски и они смогли выйти в финал. В июне на траве в Берлине и Истборне Мелихар и Схюрс смогли доиграть до финала, но оба раза уступили. Летом она сыграла на Олимпийских играх в Токио в паре с завершающей карьеру Кики Бертенс, однако они не смогли преодолеть второй раунд. На Итоговом турнире в паре с Мелихар она смогла доиграть до 1/2 финала и завершила сезон 11-й в парном рейтинге.