Алгебраическое число

Алгебраи́ческое число́ — комплексное число, являющееся корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами, не равного тождественно нулю.

Множество всех алгебраических чисел является алгебраическим замыканием поля рациональных чисел и обозначается ${\displaystyle \mathbb {A} }$. Оно является подполем поля комплексных чисел.

Вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.

Целыми алгебраическими числами называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.

Если ${\displaystyle \alpha }$ — алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих ${\displaystyle \alpha }$ своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени и со старшим коэффициентом, равным единице. Такой многочлен называется минимальным, или каноническим, многочленом для алгебраического числа ${\displaystyle \alpha }$ (иногда каноническим называют многочлен, получающийся из минимального домножением его коэффициентов на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов, то есть многочлен с целыми коэффициентами). Степень канонического многочлена для ${\displaystyle \alpha }$ называется степенью алгебраического числа ${\displaystyle \alpha }$.

Другие корни канонического многочлена ${\displaystyle \alpha }$ называются сопряжёнными (по Галуа) с ${\displaystyle \alpha }$.

Минимальный многочлен по определению является неприводимым над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Высотой алгебраического числа ${\displaystyle \alpha }$ называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, имеющем ${\displaystyle \alpha }$ своим корнем. Эта величина также называется высотой самого́ неприводимого многочлена.

• Рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами первой степени.
• Мнимая единица ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ являются алгебраическими числами второй степени. Сопряжёнными к ним являются соответственно ${\displaystyle -i}$ и ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$.
• Гауссовы целые числа, степень у них также вторая.
• Золотое сечение как корень многочлена ${\displaystyle x^{2}-x-1.}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}}$ — алгебраическое число 3-й степени, корень многочлена ${\displaystyle x^{3}+3x-2}$. Сопряжённые числа равны ${\displaystyle {\tfrac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}+{\tfrac {-1\mp {\sqrt {3}}i}{2}}{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}}$.
• Для любого натурального числа ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{3}}}$ является алгебраическим числом степени ${\displaystyle n}$.

• Сумма, разность, произведение и частное^[1] двух алгебраических чисел — алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образует поле.
  • Следствие: комплексное число ${\displaystyle a+bi}$ является алгебраическим тогда и только тогда, когда обе его компоненты ${\displaystyle a,b}$ — алгебраические числа.
• Множество алгебраических чисел счётно, а следовательно, его мера равна нулю.
• Множество алгебраических чисел плотно на комплексной плоскости.
  • Однако дополнение комплексной плоскости к множеству алгебраических чисел является линейно связным.
• Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.
• Для всякого алгебраического числа ${\displaystyle \alpha }$ существует такое натуральное ${\displaystyle N}$, что ${\displaystyle N\alpha }$ — целое алгебраическое число.
• Алгебраическое число ${\displaystyle \alpha }$ степени ${\displaystyle n}$ имеет ${\displaystyle n}$ различных сопряжённых чисел (включая себя).
• ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ сопряжены тогда и только тогда, когда существует автоморфизм поля ${\displaystyle \mathbb {A} }$, переводящий ${\displaystyle \alpha }$ в ${\displaystyle \beta }$.
• Любое алгебраическое число вычислимо, а следовательно, арифметично.

Любое число, которое можно получить из целых чисел при помощи четырёх действий арифметики (сложения, вычитания, умножения, деления), а также извлечением корня целой степени, является алгебраическим. Так, например, алгебраическим будет число ${\displaystyle {\sqrt {\frac {1998}{{\sqrt[{19}]{98}}-{\sqrt[{199}]{8}}}}}}$, а также числа вида ${\displaystyle Q_{1}^{Q_{2}}+Q_{3}^{Q_{4}}+\ldots +Q_{n}^{Q_{n+1}}}$, где ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3},Q_{4}\dots Q_{n+1}}$ — рациональные числа.

Однако не все алгебраические числа можно записать при помощи радикалов. Так, например, согласно теореме Абеля — Руффини многочлены пятой степени и выше с целыми коэффициентами, могут быть неразрешимы в радикалах. Корни таких многочленов являются алгебраическими числами, которые невозможно построить из целых четырьмя арифметическими действиями и извлечением корней^[2].

Название алгебраические и трансцендентные числа предложил Эйлер в 1775 году. В то время ещё не была известна трансцендентность ни одного известного числа^[2]. Алгебраические поля, отличные от рационального, стал рассматривать Гаусс. При обосновании теории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовых чисел, то есть чисел вида ${\displaystyle a+bi}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — целые числа.

Продолжение исследований Гаусса привело во второй половине XIX века к построению общей теории алгебраических чисел^[3]. Далее, изучая теорию кубических вычетов, Якоби и Эйзенштейн создали арифметику чисел вида ${\displaystyle a+b\rho }$, где ${\displaystyle \rho =(-1+i{\sqrt {3}})/2}$ — кубический корень из единицы, а ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — целые числа. В 1844 году Лиувилль доказал теорему о невозможности слишком хорошего приближения корней многочленов с рациональными коэффициентами рациональными дробями, и, как следствие, ввёл формальные понятия алгебраических и трансцендентных (то есть всех прочих вещественных) чисел.

Попытки доказать великую теорему Ферма привели Куммера к изучению полей деления круга, введению понятия идеала и созданию элементов теории алгебраических чисел. В работах Дирихле, Кронекера, Гильберта и других теория алгебраических чисел получила своё дальнейшее развитие. Большой вклад в неё внесли русские математики Золотарёв (теория идеалов), Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), Марков (кубическое поле), Сохоцкий (теория идеалов) и другие.

• Фельдман, Н. Алгебраические и трансцендентные числа Архивная копия от 19 сентября 2004 на Wayback Machine // Квант, № 7, 1983.
• Нестеренко Ю. В. Лекции об алгебраических числах Архивная копия от 12 июня 2017 на Wayback Machine // Конспект курса лекций, читаемых на мехмате МГУ.
• Mazur B.: Algebraic Numbers Архивная копия от 7 мая 2016 на Wayback Machine (PDF; 272 kB)  (англ.).