Теория трансцендентных чисел

Теория трансценде́нтных чисел — раздел теории чисел, изучающий трансцендентные числа, то есть числа (вещественные или комплексные), которые не могут быть корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. Например, такие важнейшие константы анализа, как ${\displaystyle \pi }$ и e, являются трансцендентными, а ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ не является, поскольку ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ есть корень многочлена ${\displaystyle x^{2}-2}$.

Одна из главных проблем данной теории — выяснить, является ли заданное число трансцендентным или нет. Методы и результаты теории трансцендентных чисел широко применяются при исследовании диофантовых уравнений.

Согласно основной теореме алгебры, любой ненулевой многочлен с целыми коэффициентами имеет комплексный корень. Другими словами, для любого полинома ${\displaystyle P(x)}$ с целыми коэффициентами существует комплексное число ${\displaystyle \alpha }$ такое, что ${\displaystyle P(\alpha )=0.}$ Теория трансцендентных чисел рассматривает преимущественно обратный вопрос: дано комплексное число ${\displaystyle \alpha }$; определить, существует ли многочлен ${\displaystyle P(x)}$ с целыми коэффициентами такой, что ${\displaystyle P(\alpha )=0.}$ Если доказано, что такого полинома не существует, значит, тем самым доказана трансцендентность числа ${\displaystyle \alpha }$.

Совокупность корней всех многочленов с целыми коэффициентами называется множеством алгебраических чисел. Например, всякое рациональное число ${\displaystyle {m \over n}}$ является алгебраическим как корень многочлена ${\displaystyle nx-m;}$ всевозможные конечные комбинации радикалов произвольной степени из целых чисел также относятся к алгебраическим числам. Таким образом, все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса — алгебраические и трансцендентные. Как выяснилось, трансцендентных чисел в некотором смысле гораздо больше, чем алгебраических.

В отличие от множества алгебраических чисел, которое является полем, трансцендентные числа не образуют никакой алгебраической структуры относительно арифметических операций — результат сложения, вычитания, умножения и деления трансцендентных чисел может быть как трансцендентным, так и алгебраическим числом. Однако некоторые ограниченные способы получить трансцендентное число из другого трансцендентного существуют.

1. Если t — трансцендентное число, то ${\displaystyle -t}$ и ${\displaystyle 1/t}$ также трансцендентны.
2. Если a — алгебраическое число, не равное нулю, t — трансцендентное, то ${\displaystyle a\pm t,\ at,\ a/t,\ t/a}$ трансцендентны.
3. Если t — трансцендентное число, а ${\displaystyle n}$ — натуральное, то ${\displaystyle t^{n}}$ и ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}}$ трансцендентны.

Понятие трансцендентных чисел, противопоставленных алгебраическим, восходит к семнадцатому веку, когда Готфрид Лейбниц доказал, что синус не является алгебраической функцией^[1]. Более обстоятельно этот вопрос в 1740-е годы рассмотрел Эйлер^[2]; он заявил^[3], что значение логарифма ${\displaystyle \log _{a}{b}}$ для рациональных чисел ${\displaystyle a,b}$ не является алгебраическим, за исключением случая, когда ${\displaystyle b=a^{c}}$ для некоторого рационального ${\displaystyle c.}$ Это утверждение Эйлера оказалось верным, но не было доказано вплоть до XX века. Эйлеру принадлежат и сами термины: алгебраическое и трансцендентное число (в работе 1775 года)^[4].

Первые конкретные примеры трансцендентных чисел указал Жозеф Лиувилль в 1840-х годах с помощью непрерывных дробей. Позднее, в 1850-х годах, он сформулировал необходимое условие для того, чтобы число было алгебраическим; соответственно, если это условие нарушается, то число заведомо трансцендентно^[5]. С помощью такого критерия он описал широкий класс трансцендентных чисел, получивший название «чисел Лиувилля». Позднее было установлено, что числа Лиувилля образуют на вещественной числовой оси всюду плотное множество, имеющее мощность континуума и вместе с тем нулевую меру Лебега^[6].

Критерий Лиувилля по существу означает, что алгебраические числа не могут быть хорошо аппроксимированы (приближены) рациональными числами (см. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел). Таким образом, если число хорошо аппроксимируется рациональными числами, то оно обязано быть трансцендентным. Точный смысл понятия «хорошо аппроксимируется» у Лиувилля следующий: если ${\displaystyle \alpha }$ является алгебраическим числом степени ${\displaystyle d\geqslant 2}$ и ε — любое положительное число, то неравенство

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}}$

может иметь лишь конечное число рациональных решений ${\displaystyle p/q.}$ Таким образом, для доказательства трансцендентности следует убедиться, что при любых ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует бесконечно много решений указанного неравенства^[7].

В XX веке труды Акселя Туэ^[8], Карла Зигеля^[9] и Клауса Рота^[10] позволили несколько упростить проверку неравенства Лиувилля, заменив выражение ${\displaystyle d+\varepsilon }$ сначала на ${\displaystyle d/2+\varepsilon +1}$, а затем (1955 год) на ${\displaystyle 2+\varepsilon .}$ Этот результат, известный как теорема Туэ — Зигеля — Рота, как полагали, уже не может быть улучшен, так как проверено, что замена ${\displaystyle 2+\varepsilon }$ на просто 2 даёт ошибочное утверждение. Однако Серж Ленг предложил улучшение версии Рота; в частности, он предположил, что ${\displaystyle q^{2+\varepsilon }}$ можно заменить на меньшее выражение ${\displaystyle q^{2}\ln(q)^{1+\varepsilon }}$.

Теорема Туэ — Зигеля — Рота эффективно завершила работу, начатую Лиувиллем, она позволила математикам доказать трансцендентность многих чисел — например, постоянной Чемпернауна. Тем не менее данная методика недостаточно сильна, чтобы обнаружить все трансцендентные числа; в частности, она неприменима к числам ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle \pi }$^[11].

Для анализа таких чисел, как ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle \pi }$, в девятнадцатом веке были разработаны другие методы. Указанные две константы, как известно, связаны тождеством Эйлера. Удобным инструментом анализа стали так называемые вспомогательные функции^[англ.], которые имеют много нулей в исследуемых точках. Здесь много нулей может означать буквально большое число нулей, или всего один ноль, но с высокой кратностью, или даже множество нулей с высокой кратностью каждый.

Шарль Эрмит в 1873 году, чтобы доказать трансцендентность ${\displaystyle e}$, использовал вспомогательные функции, аппроксимирующие функцию ${\displaystyle e^{kx}}$ для каждого натурального числа ${\displaystyle k}$^[12]. В 1880-е годы результаты Эрмита были использованы Фердинандом фон Линдеманом^[13] для того, чтобы доказать: если ${\displaystyle \alpha }$ — ненулевое алгебраическое число, то ${\displaystyle e^{\alpha }}$ трансцендентно. В частности, отсюда следует, что число ${\displaystyle \pi }$ трансцендентно, поскольку ${\displaystyle e^{i\pi }}$ является алгебраическим числом (равно −1). Это открытие закрывает такую известную проблему античности, как «квадратура круга». Другой класс чисел, чья трансцендентность следует из теоремы Линдемана — логарифмы алгебраических чисел^[6].

Дальнейшим развитием темы занялся Карл Вейерштрасс, опубликовавший в 1885 году теорему Линдемана — Вейерштрасса^[14]. Он значительно расширил класс чисел с доказанной трансцендентностью, включив в него значения функций синуса и косинуса почти для всех алгебраических значений аргументов^[4].

В 1900 году Давид Гильберт в докладе на Втором Международном конгрессе математиков перечислил важнейшие математические проблемы. В седьмой из них, одной из самых трудных (по его собственной оценке), ставился вопрос о трансцендентности чисел вида ${\displaystyle a^{b}}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — алгебраические числа, ${\displaystyle a}$ не ноль и не единица, а ${\displaystyle b}$ иррационально. В 1930-х годах Александр Гельфонд^[15] и Теодор Шнайдер^[16] доказали, что все такие числа действительно трансцендентны (теорема Гельфонда — Шнайдера). Авторы использовали для доказательства неявную вспомогательную функцию, существование которой гарантирует лемма Зигеля^[англ.]. Из теоремы Гельфонда — Шнайдера вытекает трансцендентность таких чисел, как ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ и постоянная Гельфонда^[6].

Следующий важный результат в этой области был получен в 1960-х годах, когда Алан Бейкер продвинулся в решении проблемы, поставленной Гельфондом и касающейся линейных форм над логарифмами. Ранее Гельфонду удалось найти нетривиальную нижнюю границу для выражения:

${\displaystyle |\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}|}$,

где все четыре неизвестные величины являются алгебраическими, причём ${\displaystyle \alpha _{1}}$ и ${\displaystyle \alpha _{2}}$ не равны нулю или единице, а ${\displaystyle \beta _{1}}$ и ${\displaystyle \beta _{2}}$ иррациональны. Найти аналогичные нижние границы для суммы трёх и более логарифмов Гельфонду не удалось. Доказательство теоремы Бейкера^[англ.] содержало нахождение таких границ и решение проблемы числа классов Гаусса^[англ.]. Эта работа принесла Бейкеру премию Филдса 1970 года за её использование для решения диофантовых уравнений.

Из теоремы Бейкера следует, что если ${\displaystyle \alpha _{1}\dots \alpha _{n}}$ — алгебраические числа, не равные нулю или единице, и ${\displaystyle \beta _{1}\dots \beta _{n}}$ — алгебраические числа такие, что ${\displaystyle 1,\beta _{1}\dots \beta _{n}}$ линейно независимы над полем рациональных чисел, то число ${\displaystyle \alpha _{1}^{\beta _{1}}\alpha _{2}^{\beta _{2}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}}$ трансцендентно^[17].

В 1874 году Георг Кантор, разрабатывая свою теории множеств, доказал, что алгебраические числа могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. Другими словами, множество алгебраических чисел счётно, а тогда множество трансцендентных чисел должно быть не только бесконечно, но и более чем счётно (континуально)^[18]. Позже, в 1891 году, Кантор использовал для доказательства более простой и привычный диагональный метод^[19]. Встречаются мнения, что эти результаты Кантора непригодны для построения конкретных трансцендентных чисел^[20], однако на деле доказательства в обоих вышеупомянутых документах дают методы построения трансцендентных чисел^[21]. Кантор использовал теорию множеств для доказательства полноты множества трансцендентных чисел.

Одной из последних тенденций при решении задач теории трансцендентных чисел стало использование теории моделей. Проблема состоит в том, чтобы определить степень трансцендентности поля

${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}})}$

для комплексных чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, которые являются линейно независимыми над полем рациональных чисел. Стивен Шеньюл (Stephen Schanuel) предположил, что ответ, по крайней мере, ${\displaystyle n}$, но доказательства этого пока нет. В 2004 году Борис Зильбер опубликовал работу, которая использует теоретико-модельные методы, чтобы создать структуру, которая ведёт себя очень похоже на комплексные числа, снабжённые операциями сложения, умножения и возведения в степень. Кроме того, в этой абстрактной структуре гипотеза Шеньюла действительно выполняется^[22]. Пока нет уверенности, что эта структура действительно такая же, как комплексные числа с названными операциями.

Поскольку множество алгебраических чисел всего лишь счётно, то «почти все» числа трансцендентны. Трансцендентные числа, таким образом, представляют типичный случай; однако обычно не просто доказать, что данное число является трансцендентным. По этой причине теория трансцендентности часто предпочитает более количественный подход: пусть дано комплексное число α; спрашивается, насколько близко оно к алгебраическим числам? Например, если удаётся показать, что никакой рост степени многочлена или его коэффициентов не может сделать α его корнем, то это число должно быть трансцендентным.

Для реализации этой идеи можно найти нижнюю границу формы:

${\displaystyle |P(\alpha )|>F(A,d)}$,

где правая сторона — некоторая положительная функция, зависящая от некоторой меры ${\displaystyle A}$ коэффициентов многочлена и его степени ${\displaystyle d;}$ нижняя грань («мера трансцендентности») определяется по всем ненулевым многочленам. Случай ${\displaystyle d=1}$ соответствует классической задаче диофантовых приближений, то есть поиску нижней грани для выражения:

${\displaystyle |ax+b|}$.

Методы теории трансцендентности и диофантовых приближений имеют много общего: они оба используют концепцию вспомогательных функций.

Определение трансцендентности можно обобщить. Набор чисел ${\displaystyle \alpha _{1}\dots \alpha _{n}}$ называется алгебраически независимым над полем ${\displaystyle K}$, если не существует ненулевого многочлена ${\displaystyle P(x_{1}\dots x_{n})}$ с коэффициентами в ${\displaystyle K}$ такого, что ${\displaystyle P(\alpha _{1}\dots \alpha _{n})=0.}$ Для поля рациональных чисел и набора из одного числа ${\displaystyle \alpha }$ это определение совпадает с данным выше определением трансцендентности ${\displaystyle \alpha }$. Разработана также теория трансцендентных p-адических чисел^[6].

Упомянутая выше теорема Гельфонда–Шнайдера открыла обширный класс трансцендентных чисел, но этот класс всего лишь счётный, и для многих важных констант до сих пор не известно, трансцендентны ли они. Не всегда даже известно, являются ли они иррациональными. Среди них, например, различные сочетания ${\displaystyle \pi }$ и e, константа Апери, постоянная Эйлера — Маскерони^[23].

Существующие достижения в теории касаются преимущественно чисел, связанных с экспонентой. Это означает, что нужны совершенно новые методы. Главная проблема в теории трансцендентности — доказать, что конкретный набор трансцендентных чисел является алгебраически независимым, это более сильное утверждение, чем то, что отдельные числа в наборе трансцендентны. Мы знаем, что ${\displaystyle \pi }$ и e трансцендентны, но это не означает, что трансцендентно ${\displaystyle \pi +e}$ или другие комбинации этих чисел (за исключением ${\displaystyle e^{\pi }}$, постоянной Гельфонда, которая, как уже известно, трансцендентна). Гипотеза Шеньюла решает проблему с ${\displaystyle \pi +e}$, однако она также относится только к числам, связанным с экспонентой.

• Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа. — М.: ГИТТЛ, 1952. — 224 с.
• Трансцендентное число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.
• Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта. — М.: Изд-во МГУ, 1982. — 312 с.
• Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960.
• Baker, Alan. Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press, 1975. — ISBN 0-521-20461-5.
• Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert. Logarithmic Forms and Diophantine Geometry, New Mathematical Monographs 9. — Cambridge University Press, 2007. — ISBN 978-0-521-88268-2.
• Lang, Serge. Introduction to Transcendental Numbers. — Addison–Wesley, 1966. — ISBN 0-521-20461-5.

• Жуков А. Алгебраические и трансцендентные числа  (неопр.). Дата обращения: 9 августа 2017.
• Фельдман Н. Алгебраические и трансцендентные числа  (неопр.). Дата обращения: 9 августа 2017.
• Filaseta Michael. The Beginning of Transcendental Numbers. (англ.)
• Hyun Seok, Lee. On Transcendence Theory with little history, new results and open problems  (неопр.). Дата обращения: 9 августа 2017.