Fibonacciho postupnosť

Fibonacciho postupnosť je postupnosť čísiel, v ktorej každý ďalší člen F je súčtom dvoch predchádzajúcich členov.

Postupnosť sa začína číslami 0 a 1, takže dostaneme:

• ${\displaystyle F_{0}=0}$, postupnosť je (0)
• ${\displaystyle F_{1}=1}$, postupnosť je (0, 1)
• ${\displaystyle F_{2}=F_{0}+F_{1}=0+1=1}$, postupnosť je (0, 1, 1)
• ${\displaystyle F_{3}=F_{1}+F_{2}=1+1=2}$, postupnosť je (0, 1, 1, 2)
• ${\displaystyle F_{4}=F_{2}+F_{3}=1+2=3}$, postupnosť je (0, 1, 1, 2, 3)
• ${\displaystyle F_{5}=F_{3}+F_{4}=2+3=5}$, postupnosť je (0, 1, 1, 2, 3, 5)
• …

Po zovšeobecnení, pre ${\displaystyle n>1}$:

${\displaystyle F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}}$

Jednotlivé členy postupnosti sa nazývajú Fibonacciho čísla.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393…

Fibonacciho postupnosť a Fibonacciho čísla nazval francúzsky matematik Édouard Lucas (1842-1891) podľa stredovekého talianskeho matematika Leonarda z Pisy, prezývaného Fibonacci.

Postupnosť sa niekedy nazýva aj zlatá cesta (z gréc. χρνσοδρομος, chrysodromos).

Johannes Kepler upozornil na skutočnosť, že podiel dvoch po sebe nasledujúcich fibonacciho čísel ${\displaystyle \left({\tfrac {F_{n+1}}{F_{n}}}\right)}$ konverguje k číslu, ktoré bolo známe už od antiky, označuje sa symbolom φ (grécke písmeno fí) a nazýva sa tiež zlatý rez. Vyjadrené modernou matematikou:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi =1{,}6180339887}$

Vzťah čísla φ a Fibonacciho postupnosti ukazujú tiež vzťahy:

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}$

${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n-1}+\varphi F_{n}}$

${\displaystyle F_{0}+F_{1}+\dots +F_{n}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$

${\displaystyle 1F_{1}+2F_{2}+\dots +nF_{n}=\sum _{i=1}^{n}iF_{i}=F_{n+3}+2}$

Fibonacciho čísla sa vyskytujú v sumách "plytkých" uhlopriečok v Pascalovho trojuholníka (pozri koeficient dvojčlen). [17]

    F_ {n} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ lfloor \ frac {n-1} {2} \ rfloor} \ tbinom {nk-1} k

Fibonacci čísla možno nájsť v rôznych spôsoboch v poradí binárnych reťazcov.

    * Počet binárnych reťazcov dĺžky n bez následného 1s je Fibonacci číslo Fn +2.
Napríklad, z 16 binárnych reťazcov dĺžky 4, sú F6 = 8 bez následného 1s - sú 0000, 0100, 0010, 0001, 0101, 1000, 1010 a 1001. 

Symetriou, počet reťazcov dĺžky n bez následného 0s je tiež Fn 2.

    * Celkový počet binárnych reťazcov dĺžky n bez nepárneho počtu po sebe idúcich 1s je Fibonacci číslo Fn +1.
Napríklad, z 16 binárnych reťazcov dĺžky 4, sú F5 = 5 bez nepárneho počtu po sebe idúcich 1s - sú 0000, 0011, 0110, 1100, 1111.
    * Počet binárnych reťazcov dĺžky n bez párnym počtom po sebe idúcich 0s alebo 1s je 2Fn.
Napríklad, z 16 binárnych reťazcov dĺžky 4, sú 2f4 Pohostinstvo = 6 bez párnym počtom po sebe idúcich 0s alebo 1s - sú 0001, 1000, 1110, 0111, 0101, 1010.

• Fibonacci Series (en)

Tento článok týkajúci sa matematiky je zatiaľ „výhonok“. Pomôž Wikipédii tým, že ho doplníš a rozšíriš.