Normalna matrika

Normalna matrika je kompleksna kvadratna matrika (ima isto število stolpcev in vrstic) za katero velja:

${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle A^{*}\!\,}$ – konjugirano transponirana matrika matrike ${\displaystyle A\!\,}$.

To pomeni, da je matrika ${\displaystyle A\!\,}$ normalna, če komutira s svojo konjugirano transponirano matriko. Za realne matrike je to:

${\displaystyle A^{T}\cdot A=A\cdot A^{T}\!\,.}$

Kvadratna matrika ${\displaystyle A\!\,}$ je normalna, če in samo če obstaja takšna unitarna matrika ${\displaystyle U\!\,}$ z isto razsežnostjo, da je ${\displaystyle U^{-1}AU\!\,}$ diagonalna matrika. To pravilo se imenuje tudi spektralno pravilo. Elementi diagonalne matrike ${\displaystyle U^{-1}AU\!\,}$ so lastne vrednosti.

Če je ${\displaystyle A\!\,}$ realna matrika, potem je ${\displaystyle A^{*}=A^{T}\!\,}$ in je matrika normalna, če je ${\displaystyle A^{T}A=AA^{T}\!\,}$.

Normalnost matrike je primeren test za možnost diagonalizacije matrike. Vsaka normalna matrika se lahko pretvori v diagonalno matriko z enotsko transformacijo in vsaka matrika, ki se jo lahko diagonalizira z enotsko transformacijo, je normalna matrika.

Med kompleksnimi matrikami so vse unitarne, hermitska in poševnohermitske normalne matrike. Med realnimi matrikami so normalne vse ortogonalne, simetrične in poševnosimetrične matrike (antisimetrične).

• Normalna matrika na MathWorld (angleško)
• Normalne preslikave (slovensko)