Ortogonalnost

Ortogonálnost je v matematiki drugo ime za pravokotnost. Pogosto se izraza ortogonalnost ne more samo zamenjati z izrazom pravokotnost. Ortogonalnost je posplošitev pojma pravokotnosti. Ortogonalnost se lahko uporabi tudi v mnogorazsežnih prostorih.

Beseda izhaja iz dveh starogrških besed grško ὀρθός (ortos - pravilen) in grško γόνυ (goni - pravokoten). Včasih se za isti pojem uporablja tudi izraz normalnost (iz latinske besede norma (normal), ki pomeni merilo oziroma pravi kot. Pogosto se izraz normalnost povezuje z enotskimi vektorji. Izraz pravokotnost izhaja iz uporabe svinčnice s pomočjo katere so včasih določali pravokotnost na površino Zemlje.

Pojem ortogonalnost se uporablja na mnogih področjih matematike. V nadaljevanju je naštetih nekaj primerov:

• ortogonalna grupa
• ortogonalni sistem in ortonormirani sistem
• ortogonalna matrika
• ortogonalna projekcija
• ortogonalna preslikava
• ortogonalne koordinate
• ortogonalni polinomi
• ortogonalna baza

Iz naštetih primerov se vidi, da se izraz ortogonalnost ne more vedno zamenjati z izrazom pravokotnost.

V linearni algebri je ortogonalnost povezana s skalarnim produktom.

• Dva vektorja sta v prehilbertovem prostoru ortogonalna, če je njun notranji produkt ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ enak 0. To se označuje z ${\displaystyle x\perp y}$.

• Dva linearna podprostora ${\displaystyle A\,}$ in ${\displaystyle B\,}$ v prehilbertovem prostoru ${\displaystyle V\,}$, sta ortogonalna podprostora, če je vsak vektor v ${\displaystyle A\,}$ pravokoten na vsak vektor v ${\displaystyle B\,}$

• Linearna transformacija ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ se imenuje ortogonalna linearna transformacija, če ohranja skalarni produkt. To pomeni, da transformacija ${\displaystyle T\,}$ ohranja kot med ${\displaystyle x\,}$ in ${\displaystyle y\,}$.

Glavni članek: ortogonalna funkcija.

Za notranji produkt dveh funkcij:

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,\mathrm {d} x\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle \langle \dots \rangle \,}$ notranji produkt
• ${\displaystyle w(x)\,}$ utežna funkcija

Ti dve funkciji sta ortogonalni, če je njun notranji produkt enak 0:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,\mathrm {d} x=0\!\,.}$

Normo se lahko glede na notranji produkt in utežno funkcijo zapiše kot:

${\displaystyle \|f\|_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}\!\,.}$

Člani zaporedja ${\displaystyle {f_{j}:j=1,2,3,\dots }\,}$ so:

• ortogonalni na intervalu ${\displaystyle [a,b]\,}$, če velja:

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =\int _{a}^{b}f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\|f_{i}\|^{2}\delta _{i,j}=\|f_{j}\|^{2}\delta _{i,j}\!\,}$

• ortonormalni na intervalu ${\displaystyle [a,b]\,}$, če velja:

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =\int _{a}^{b}f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{i,j}\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle \delta _{ij}\,}$ Kroneckerjeva delta.

Nekatera zaporedja polinomov tvorijo zaporedje ortogonalnih polinomov. Takšni polinomi so:

• Hermitovi polinomi, ki so ortogonalni glede na normalno porazdelitev, ki ima pričakovano vrednost 0.
• Legendrovi polinomi, ki so ortogonalni glede na zvezno enakomerno porazdelitev na intervalu od -1 do +1.
• Laquerrovi polinomi, ki so ortogonalni glede na eksponentno porazdelitev. Bolj splošni Laquerrovi polinomi pa so ortogonalni glede na porazdelitev gama
• polinomi Čebišova prve vrste so ortogonalni glede na mero ${\displaystyle 1/{\sqrt {1-x^{2}}}.}$
• polinomi Čebiševa druge vrste so ortogonalni glede na Wignerjevo polkrožno porazdelitev

• ortonormiranost

• Priročnik za ortogonalnost Arhivirano 2011-05-17 na Wayback Machine. (angleško)
• Kompaktnost in ortogonalnost Arhivirano 2018-01-13 na Wayback Machine. (angleško)