Sled matrike

Sled matrike (oznaka v angleških besedilih ${\displaystyle \mathrm {Tr} (\dots )\,}$ ali ${\displaystyle \mathrm {tr} (\dots )\,}$, v nemških besedilih ${\displaystyle \mathrm {Sp} (\dots )\,}$ ali ${\displaystyle \mathrm {Spur} (\dots )\,}$, v slovenščini se uporablja ${\displaystyle \mathrm {sl} (\dots )\,}$ ) je v linearni algebri za kvadratno matriko ${\displaystyle A\,}$, ki ima razsežnost ${\displaystyle n\times n\,}$ določena kot vsota elementov na diagonali matrike:

${\displaystyle \mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\!\,,}$

kjer je

• ${\displaystyle a_{ij}\,}$ element matrike v i-ti vrstici in j-tem stolpcu
• ${\displaystyle A\,}$ je matrika

Vidi se, da je sled vsota lastnih vrednosti, ki je zaradi tega invariantna glede na spremembo baze. Sled je linearna transformacija.

Za vse kvadratne matrike ${\displaystyle A\,}$ in ${\displaystyle B\,}$ velja:

${\displaystyle \mathrm {tr} (A+B)=\mathrm {tr} (A)+\mathrm {tr} (B)\!\,.}$

Če pa je ${\displaystyle c\,}$ skalar, velja tudi:

${\displaystyle \mathrm {tr} (cA)=c\cdot \mathrm {tr} (A)\!\,.}$

Kadar pa je ${\displaystyle A\,}$ matrika ${\displaystyle m\times n\,}$

• ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;(\alpha A+\beta B)=\alpha \mathop {\rm {tr}} \;A+\beta \mathop {\rm {tr}} \;B}$ (linearnost)

• ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;(ABC)=\mathop {\rm {tr}} \;(BCA)=\mathop {\rm {tr}} \;(CAB)}$ (cikličnost)

oziroma

${\displaystyle \mathrm {tr} (ABC)\neq \mathrm {tr} (ACB)\!\,.}$

Iz tega sledi:

${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;(C^{-1}AC)=\mathop {\rm {tr}} \;(A)\ }$

• ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;(A)=\mathop {\rm {tr}} \;(A^{T})\,}$ kjer je s T označena transponirana matrika

• ${\displaystyle \ln \det(A)=\mathop {\rm {tr}} \;(\ln A)\,}$

• če je ${\displaystyle A\otimes B}$ tenzorski produkt matrik ${\displaystyle A\,}$ in ${\displaystyle B\,}$, potem je ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;(A\otimes B)=\mathop {\rm {tr}} \;(A)\mathop {\rm {tr}} \;(B)}$

• sled matrike z realnimi ali kompleksnimi elementi je enaka vsoti njenih lastnih vrednosti

• ${\displaystyle \operatorname {tr} (A\cdot B)=\mathrm {tr} (B\cdot A)}$

• kadar sta matriki ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times n\,}$ ${\displaystyle A}$ velja tudi

${\displaystyle \operatorname {tr} (A\cdot B)\geq 0}$

• sled realne ali kompleksne idempotentne matrike ${\displaystyle A\,}$ je enaka njenemu rangu:

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\mathrm {Rang} (A)\!\,.}$

• za vse realne ali kompleksne matrike z ${\displaystyle n\times n\,}$ je tudi

${\displaystyle \det \left(\exp \left(A\right)\right)=\exp \left(\operatorname {tr} \left(A\right)\right)}$

• Sled matrike na MathWorld (angleško)