Теорија бројева је грана математике која се бави особинама бројева , посебно целих , као и ширих класа проблема који проистичу из ове студије.
Израз аритметика [ note 1] виша аритметика , али и овај израз више није у употреби. Па ипак, израз аритметика се и даље јавља у именима неких математичких области (аритметичке функције , аритметика елиптичких кривих , основна теорема аритметике ). Ово смисао израза аритметика не треба мешати ни са елементарном аритметиком , нити са граном логике која проучава Пеанову аритметику као формални систем . Математичари који се баве теоријом бројева се називају теоретичари бројева .
Када се природни бројеви запишу у спирали и обележе прости бројеви, добија се интересантна и не потпуно објашњена шема, која се зове Уламова спирала .
У елементарној теорији бројева , се проучавају цели бројеви без коришћења техника из других области математике. Овде спадају питања дељивости , коришћења Еуклидовог алгоритма за израчунавање највећег заједничког делиоца , факторизације целих бројева у просте бројеве , проучавање савршених бројева и конгруенција . Неколико важних открића из ове области су Мала Фермаова теорема , Ојлерова теорема , Кинеска теорема о остатку и закон квадратног реципроцитета . Својства мултипликативних функција попут Мебијусове функције , Ојлерове фи функције , низова целих бројева , факторијела , и Фибоначијевих бројева такође спадају у ову област.
Многа питања из области теорије бројева се могу исказати у терминима елементарне теорије бројева, али многа од њих захтевају врло дубоко разматрање и нове приступе који су изван домена елементарне теорије бројева. Међу оваквим примерима су:
За теорију диофантских једначина је чак показано да је неодлучива десети Хилбертов проблем ).
Аналитичка теорија бројева анализе и комплексне анализе за решавање проблема везаних за целе бројеве. Пример су теорема о простим бројевима и повезана Риманова хипотеза . Такође, за Ворингов проблем (представљање датог целог броја као збира квадрата, кубова итд.), конјектуру о простим близанцима (налажење бесконачно много парова простих бројева чија је разлика 2) и Голдбахову конјектуру (записивање парних бројева као збира два проста броја) се користе аналитички методи.[ 5] Доказ трансцедентности математичких константи, као што су пи или e трансцендентним бројевима не спадају у проучавање целих бројева, они у ствари представљају проучавање могућих вредности полинома са целобројним коефицијентима, израчунатим рецимо у e ; они су такође у блиској вези са пољем диофантске апроксимације , где се истражује колико добро се дати реалан број може апроксимирати рационалним .
У алгебарској теорији бројева алгебарске бројеве који су нуле полинома са рационалним коефицијентима. Ови домени садрже елементе аналогне целим бројевима, такозване алгебарске целе бројеве . Овде позната својства целих бројева (попут јединствене факторизације) не морају да важе. Помоћу теорије Галоа , кохомологије групе , класне теорије поља , представљања група и L-функција је могуће у неком обиму повратити то уређење за ову нову класу бројева.
Многим питањима из теорије бројева се најлакше прилази тако што се проучавају по модулу p за све просте p . Ово се назива локализацијом и доводи до конструкције p-адних бројева ; ова област се назива локалном анализом и потиче из алгебарске теорије бројева.
Геометријска теорија бројева геометријом бројева ) укључује неке основне геометријске појмове у питања теорије бројева. Полази од теореме Минковског , а води до базичних доказа коначности класног броја и Дирихлеове јединичне теореме .
Комбинаторна теорија бројева се бави проблемима теорије бројева који укључују комбинаторне идеје у својим формулацијама или решењима. Пал Ердош је главни оснивач ове гране теорије бројева. Типичне теме ове области укључују покривачки систем , проблем нулте суме , и аритметичке прогресије у скупу целих бројева. У овој области су корисне алгебарске и аналитичке методе.
Рачунарска теорија бројева алгоритме важне за теорију бројева. Брзи алгоритми за тестирање простости броја и факторизацију целих бројева имају важне примене у криптографији .
^ Већ 1921. године је Т. Л. Хит објаснио: „Под аритметиком, Платон није мислио, на аритметику у нашем смислу, него на науку која разматра бројеве саме по себи, другим речима, оно што ми називамо теоријом бројева.“ Heath 1921 , стр. 13
Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory Undergraduate Texts in Mathematics . Springer. ISBN 978-0-387-90163-3 . Приступљено 28. 02. 2016 . Apostol, Tom M. „An Introduction to the Theory of Numbers” . (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909. American Mathematical Society. Приступљено 28. 02. 2016 . Becker, Oskar (1936). „Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente”. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik . Abteilung B:Studien. Berlin: J. Springer Verlag. 3 : 533—53. Boyer, Carl Benjamin ; Merzbach, Uta C. (1991) [1968]. A History of Mathematics ISBN 978-0-471-54397-8 . 1968 edition at archive.orgClark, Walter Eugene (1930). The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An ancient Indian work on Mathematics and Astronomy . Приступљено 28. 02. 2016 . Colebrooke, Henry Thomas (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. . Приступљено 28. 02. 2016 . Davenport, Harold ; Montgomery, Hugh L. (2000). Multiplicative Number Theory . Graduate texts in mathematics. 74 (revised 3rd изд.). Springer. ISBN 978-0-387-95097-6 . Edwards, Harold M. (1983). „Euler and Quadratic Reciprocity” . Mathematics Magazine . Mathematical Association of America. 56 (5): 285—291. JSTOR 2690368 . doi :10.2307/2690368 . Edwards, Harold M. (2000) [1977]. Fermat's Last Theorem: a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory 50 (reprint of 1977 изд.). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95002-0 . Fermat, Pierre de (1679). Varia Opera Mathematica . Приступљено 28. 02. 2016 . Friberg, Jöran (1981). „Methods and Traditions of Babylonian Mathematics: Plimpton 322, Pythagorean Triples and the Babylonian Triangle Parameter Equations”. Historia Mathematica . Elsevier. 8 (3): 277—318. doi :10.1016/0315-0860(81)90069-0 . von Fritz, Kurt (2004). „The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum”. Ур.: Christianidis, J. Classics in the History of Greek Mathematics . Berlin: Kluwer (Springer). ISBN 978-1-4020-0081-2 . Gauss, Carl Friedrich ; Waterhouse, William C. (trans.) (1966) [1801]. Disquisitiones Arithmeticae ISBN 978-0-387-96254-2 . Goldfeld, Dorian M. (2003). „Elementary Proof of the Prime Number Theorem: a Historical Perspective” (PDF) . Приступљено 28. 02. 2016 . Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert (2007). „A book in search of a discipline”. Ур.: Goldstein, C.; Schappacher, N.; Schwermer, Joachim. The Shaping of Arithmetic after Gauss' "Disquisitiones Arithmeticae" ISBN 978-3-540-20441-1 . Приступљено 28. 02. 2016 . Granville, Andrew (2008). „Analytic number theory” . Ур.: Gowers, Timothy ; Barrow-Green, June; Leader, Imre . The Princeton Companion to Mathematics ISBN 978-0-691-11880-2 . Приступљено 28. 02. 2016 . Porphyry ; Guthrie, K. S. (trans.) (1920). Life of Pythagoras Guthrie, Kenneth Sylvan (1987). The Pythagorean Sourcebook and Library ISBN 978-0-933999-51-0 . Hardy, Godfrey Harold ; Wright, E. M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921986-5 . MR 2445243 . Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid . Приступљено 28. 02. 2016 . Hopkins, J. F. P. (1990). „Geographical and Navigational Literature”. Ур.: Young, M. J. L.; Latham, J. D.; Serjeant, R. B. Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period ISBN 978-0-521-32763-3 . Huffman, Carl A. (08. 08. 2011). Zalta, Edward N., ур. „Pythagoras” . Stanford Encyclopaedia of Philosophy (Fall 2011 изд.). Приступљено 07. 02. 2012 . Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic Number Theory . American Mathematical Society Colloquium Publications. 53 . Providence, RI,: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3633-0 . Plato ; Jowett, Benjamin (trans.) (1871). Theaetetus Lam, Lay Yong ; Ang, Tian Se (2004). Fleeting Footsteps: Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China ISBN 978-981-238-696-0 . Приступљено 28. 02. 2016 . Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory D. C. Heath and Company . LCCN 77171950 . Mahoney, M. S. (1994). The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665 ISBN 978-0-691-03666-3 . Приступљено 28. 02. 2016 . Milne, J. S. (2014). „Algebraic Number Theory” . Montgomery, Hugh L. ; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative Number Theory: I, Classical Theory, ISBN 978-0-521-84903-6 . Приступљено 28. 02. 2016 . Morrow, Glenn Raymond (trans., ed.); Proclus (1992). A Commentary on Book 1 of Euclid's Elements ISBN 978-0-691-02090-7 . Mumford, David (2010). „Mathematics in India: reviewed by David Mumford” (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 57 (3): 387. ISSN 1088-9477 . Neugebauer, Otto E. (1969). The Exact Sciences in Antiquity ISBN 978-0-486-22332-2 . Приступљено 02. 03. 2016 . Neugebauer, Otto E. ; Sachs, Abraham Joseph ; Götze, Albrecht (1945). Mathematical Cuneiform Texts . American Oriental Series. 29 . American Oriental Society etc. O'Grady, Patricia (2004). „Thales of Miletus” . The Internet Encyclopaedia of Philosophy. Приступљено 07. 02. 2012 . Pingree, David ; Ya'qub, ibn Tariq (1968). „The Fragments of the Works of Ya'qub ibn Tariq”. Journal of Near Eastern Studies . University of Chicago Press. 26 . Pingree, D.; al-Fazari (1970). „The Fragments of the Works of al-Fazari”. Journal of Near Eastern Studies . University of Chicago Press. 28 . Plofker, Kim (2008). Mathematics in India . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12067-6 . Qian, Baocong, ур. (1963). Suanjing shi shu (Ten Mathematical Classics) . Приступљено 28. 02. 2016 . Rashed, Roshdi (1980). „Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson” . Archive for History of Exact Sciences . 22 (4): 305—321. doi :10.1007/BF00717654 . Robson, Eleanor (2001). „Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a Reassessment of Plimpton 322” (PDF) . Historia Mathematica . Elsevier. 28 (28): 167—206. doi :10.1006/hmat.2001.2317 . Архивирано из оригинала (PDF) 21. 10. 2014. г. Sachau, Eduard ; Bīrūni, ̄Muḥammad ibn Aḥmad (1888). Alberuni's India: An Account of the Religion, Philosophy, Literature, Geography, Chronology, Astronomy and Astrology of India, Vol. 1 . Приступљено 28. 02. 2016 . Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. A Course in Arithmetic . Graduate texts in mathematics. 7 . Springer. ISBN 978-0-387-90040-7 . Smith, D. E. (1958). History of Mathematics, Vol I . New York: Dover Publications. Tannery, Paul ; Henry, Charles ; Fermat, Pierre de (1891). Oeuvres de Fermat . (4 Vols.). Paris: Imprimerie Gauthier-Villars et Fils. Volume 1 Volume 2 Volume 3 Volume 4 (1912) Iamblichus ; Taylor, Thomas (1818). Life of Pythagoras or, Pythagoric Life оригинала 21. 07. 2011. г. Truesdell, C. A. (1984). „Leonard Euler, Supreme Geometer”. Ур.: Hewlett, John. Leonard Euler, Elements of Algebra ISBN 978-0-387-96014-2 . Truesdell, C. A. (2007). „Leonard Euler, Supreme Geometer”. Ур.: Dunham, William. The Genius of Euler: reflections on his life and work ISBN 978-0-88385-558-4 . Приступљено 28. 02. 2016 . Varadarajan, V. S. (2006). Euler Through Time: A New Look at Old Themes ISBN 978-0-8218-3580-7 . Приступљено 28. 02. 2016 . Vardi, Ilan (1998). „Archimedes' Cattle Problem” (PDF) . American Mathematical Monthly . 105 (4): 305—319. doi :10.2307/2589706 . van der Waerden, Bartel L. ; Dresden, Arnold (trans) (1961). Science Awakening . Vol. 1 or Vol 2. New York: Oxford University Press. Weil, André (1984). Number Theory: an Approach Through History – from Hammurapi to Legendre ISBN 978-0-8176-3141-3 . Приступљено 28. 02. 2016 . Hardy, G. H. ; Wright, E. M. (2008) [1938]. An introduction to the theory of numbers Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921986-5 . Приступљено 02. 03. 2016 . Vinogradov, I. M. (2003) [1954]. Elements of Number Theory (reprint of the 1954 изд.). Mineola, NY: Dover Publications. Niven, Ivan M. ; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. (2008) [1960]. An introduction to the theory of numbers John Wiley & Sons . ISBN 978-81-265-1811-1 . Приступљено 28. 02. 2016 . Rosen, Kenneth H. (2010). Elementary Number Theory Pearson Education . ISBN 978-0-321-71775-7 . Приступљено 28. 02. 2016 . Borevich, A. I. ; Shafarevich, Igor R. (1966). Number theory 20 . Boston, MA: Academic Press . ISBN 978-0-12-117850-5 . MR 0195803 . Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. A course in arithmetic . Graduate texts in mathematics . 7 . Springer. ISBN 978-0-387-90040-7 .
