Функција преноса

Функција преноса, један је од начина математичког описа динамичког понашања система. Углавном се користи у теорији аутоматског управљања, комуникација и дигиталне обраде сигнала. Представља диференцијални оператор, који изражава однос између улаза и излаза линеарног стационарног система. Знајући улаз система и функцију преноса, може се реконструисати излазни сигнал. Једноставније речено, преносна функција је математички приказ односа између улаза и излаза динамичког система.

У временском домену, такав систем карактерише импулсни одзив, трансформацијом улазног сигнала U(t) у излазни сигнал Y(t). Са одговарајућом трансформацијом могу се заменити улазни сигнал у U(s) и излазни у Y(s), па је њихов однос функција преноса. У теорији управљања, функција преноса система дефинише се као однос Лапласове трансформације излазног сигнала и улаза, са нултим почетним условима.

За континуалне сигнале, функција преноса помоћу Лапласа даје опште информације о систему, посебно информације о његовој стабилности.^[1][2]

При разматрању теорије линеарних стационарних система, усвојено је да је однос излазног и улазног сигнала функцију преноса:^[2][3]

Веза између временског и фреквентног домена.

${\displaystyle W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}}$,

Где је:

• ${\displaystyle U(s)\!}$ — улазни сигнал (улаз)
• ${\displaystyle Y(s)\!}$ — излазни сигнал (излаз, или одзив)
  

У овом облику, улаз и излаз, добијени су са Лапласовом трансформацијом сигнала у временском домену ${\displaystyle u(t)\!}$ и ${\displaystyle y(t)\!}$, сагласно релацијама:

${\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}\equiv \int \limits _{-\infty }^{\infty }u(t)e^{-st}\,dt}$,

${\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int \limits _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt}$.

За дигитални и дискретно непрекидни систем назива се дискретна функција преноса. Сигнал ${\displaystyle u(k)\!}$ — улазни дискретни сигнал одговарајућег система, а ${\displaystyle y(k)\!}$ — је дискретни излазни сигнал, ${\displaystyle k=0,1,2,\dots \!}$. Тада се функција преноса система ${\displaystyle W(z)\!}$ може написати у облику:

${\displaystyle W(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}}$,

Где је ${\displaystyle U(z)\!}$ и ${\displaystyle Y(z)\!}$ — z-конверзија за сигнале ${\displaystyle u(k)\!}$ и ${\displaystyle y(k)\!}$ сагласно:

${\displaystyle U(z)={\mathcal {Z}}\left\{u(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }u(k)z^{-k}}$,

${\displaystyle Y(z)={\mathcal {Z}}\left\{y(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }y(k)z^{-k}}$.

• Амплитудно и фазно фреквентни одзив може се добити из функције преноса помоћу формалне замене са коплесном променљивом ${\displaystyle s\!}$ са ${\displaystyle j\omega \!}$:

${\displaystyle W(j\omega )\equiv W(s),s=j\omega \!}$.

• Импулсна функција преноса је оригинал за функцију преноса (Лапласове трансформације).

1. За стационарне објекте преносна функција, сврстава се у рационалне функције са комплексном променљивом (${\displaystyle s\!}$):

${\displaystyle W(s)={\frac {R(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\dots +a_{n}}}}$.

1. Именилац функције преноса је карактеристичан полином система. Полови функције преноса су корени карактеристичног полинома.
2. У физички реалним системима, ред бројиоца преносне функције ${\displaystyle m\!}$, не може прећи ред имениоца ${\displaystyle n\!}$.
3. Импулсна функција преноса је оригинал за функцију преноса (пре Лапласове трансформације).

За вишеструки улаз и вишеструки излаз, уводи се систем матрице функције преноса. Матрица функције преноса од улаза вектора система ${\displaystyle U(t)\!}$ и од вектора излаза ${\displaystyle Y(t)\!}$, представља матрицу ${\displaystyle W=\{w_{i,j}\}\!}$, где су њени елементи ${\displaystyle i\!}$, у томе реду ${\displaystyle j\!}$. Друга колона представља функцију преноса система од ${\displaystyle i\!}$, од координате вектора излаза система, на вектор улаза ${\displaystyle j\!}$.

Када систем управљања поседује повратну спрегу (слика десно), тада су уочљиве две функције преноса:

• Функција преноса система са затвореном повратном спрегом, која се назива
  функција спрегнутог преноса
  

${\displaystyle W_{s}(s)={\frac {G}{1+GH}}}$,

• функција преноса система са отвореном повратном спрегом, која се назива
  функција повратног преноса^[2]
  

${\displaystyle \ W(s)=\ GH}$.

У инжињерској теорији управљања, функција преноса је изведена помоћу Лапласове трансформације.

Функција преноса је примарни алат, који се користи у класичном управљању у енергетици. Међутим, он се показао гломазан за анализу система са више улаза и са више излаза, и у великој мери замењен је са приказом стања простора за овакве системе. Упркос томе, матрица функције преноса може се увек добити за било који линеарни систем, како би се анализирала динамика и друга својства. Сваки елеменат матрице је функција преноса, односи се на променљиви улаз и излаз.

У оптици, функција преноса означава могућност модулације оптичког преноса контраста.

Пример, када се посматра серија црно-белих светлосних пруга, нацртаних са специфичном просторном фреквенцијом, квалитет слике може опадати. Бела пруга бледи док црне постају светлије.

функција преноса модулације (${\displaystyle \mathrm {MTF} }$) у одређеним просторним учестаностима је дефинисана:

${\displaystyle \mathrm {MTF} (f)={\frac {M({slika})}{M({izvor})}}}$

Где модулација (М) зависи од следеће слике или интензитета осветљења:

${\displaystyle M={\frac {(L_{\mathrm {max} }-L_{\mathrm {min} })}{(L_{\mathrm {max} }+L_{\mathrm {min} })}}}$

• Систем команди лета авиона
• Повратна спрега

• Анализа система
• ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems — Short primer on the mathematical analysis of (electrical) LTI systems.
• ECE 209: Sources of Phase Shift — Gives an intuitive explanation of the source of phase shift in two simple LTI systems. Also verifies simple transfer functions by using trigonometric identities.