Graf över absolutvärdesfunktionen för reella tal Ett tals absolutvärde kan tolkas som talets avstånd till origo Absolutbeloppet , ibland kallat absolutvärdet eller beloppet av ett tal x betecknas |x | och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0-punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen .[ 1] [ 2]
Absolutbeloppet av ett reellt tal x definieras av[ 2]
|
x
|
=
{
x
,
x
≥
0
−
x
,
x
<
0
{\displaystyle |x|=\left\{{\begin{matrix}x,&x\geq 0\\-x,&x<0\end{matrix}}\right.}
Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + b i definieras av[ 1]
|
z
|
=
z
z
∗
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle |z|={\sqrt {zz^{*}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
(se kvadratrot och komplexkonjugat .)
För en vektor v = (x 1 , x 2 ,..., x n ), kallas ibland vektorns längd för vektorns absolutbelopp eller belopp:
|
v
|
=
x
1
2
+
x
2
2
+
.
.
.
+
x
n
2
{\displaystyle |\mathbf {v} |={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}}
Den vanliga benämningen är dock vektorns norm och betecknas
|
|
v
¯
|
|
{\displaystyle ||\mathbf {\bar {v}} ||}
[ 3]
Egenskaper
Om a och b är komplexa tal gäller att[ 1]
|
a
|
≥
0
{\displaystyle |a|\geq 0}
|
a
|
=
0
⇔
a
=
0
{\displaystyle |a|=0\Leftrightarrow a=0}
|
a
b
|
=
|
a
|
|
b
|
{\displaystyle |ab|=|a||b|\,}
|
a
b
|
=
|
a
|
|
b
|
{\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}}
|
a
+
b
|
≤
|
a
|
+
|
b
|
{\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}
triangelolikheten )
|
a
−
b
|
≥
|
|
a
|
−
|
b
|
|
{\displaystyle |a-b|\geq ||a|-|b||}
|
a
|
=
a
a
∗
{\displaystyle |a|={\sqrt {aa^{*}}}}
a* är det komplexkonjugerade värdet av a Om a och b är reella gäller även[ 2]
|
a
|
≤
b
⇔
−
b
≤
a
≤
b
,
b
≥
0
{\displaystyle |a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b,b\geq 0}
Anledningen till att man använder begreppet norm för vektorer är att multiplikationsregeln gäller ett reellt tal
a
{\displaystyle a}
v
¯
{\displaystyle \mathbf {\bar {v}} }
[ 3]
|
|
a
⋅
v
¯
|
|
=
|
a
|
⋅
|
|
v
¯
|
|
{\displaystyle ||a\cdot \mathbf {\bar {v}} ||=|a|\cdot ||\mathbf {\bar {v}} ||}
Exempel
|
5
|
=
5
{\displaystyle \ |5|=5}
|
−
5
|
=
5
{\displaystyle \ |-5\,|=5}
|
1
+
i
|
=
2
{\displaystyle \ |\,1+\mathrm {i} \,|={\sqrt {2}}}
Referenser
Noter
Karush, William; Jan Thomson och Bertil Rahm (1962). Matematisk uppslagsbok
