ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา (อังกฤษ: Fermat's last theorem) เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่โด่งดังในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ ซึ่งกล่าวว่า:

ไม่มีจำนวนเต็มบวก x, y, และ z ที่ทำให้ ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}\;}$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2^[1]

ปีแยร์ เดอ แฟร์มา นักคณิตศาสตร์ในคริสต์ศตวรรษที่ 17 ได้เขียนทฤษฎีบทนี้ลงในหน้ากระดาษหนังสือ Arithmetica ของไดโอแฟนตัส ฉบับแปลเป็นภาษาละตินโดย Claude-Gaspar Bachet เขาเขียนว่า "ฉันมีบทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์สำหรับบทสรุปนี้ แต่พื้นที่กระดาษเหลือน้อยเกินไปที่จะอธิบายได้" (เขียนเป็นภาษาละตินว่า "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.") อย่างไรก็ตาม ตลอดระยะเวลา 358 ปี ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ถูกต้องเลย จนกระทั่ง แอนดรูว์ ไวลส์ ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในปี 1994^[2] ซึ่งเป็นผลให้เขาได้รับรางวัลอาเบลในปี 2016 จากบทพิสูจน์ที่ "น่าตื่นตะลึง"^[3]

ความสนใจของนักคณิตศาสตร์ที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาทำให้เกิดคณิตศาสตร์สาขาใหม่ ๆ ขึ้นมา ได้แก่ ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต ในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 19^[4] และนำไปสู่บทพิสูจน์ข้อคาดการณ์ทานิยามา-ชิมูระในคริสต์ศตวรรษที่ 20 ที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทมอดูลาริตี^[5]

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา เป็นรูปแบบทั่วไปของสมการไดโอแฟนไทน์ a² + b² = c² (สมการที่ตัวแปรเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น) ชาวจีน ชาวกรีก และชาวบาบิโลเนียนได้ค้นพบคำตอบของสมการนี้หลายคำตอบเช่น (3, 4, 5) (3² + 4² = 5²) หรือ (5, 12, 13) เป็นต้น คำตอบเหล่านี้เรียกว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (Pythagorean triples) และมีอยู่จำนวนไม่จำกัด ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา กล่าวว่า สมการนี้จะไม่มีคำตอบเมื่อเลขยกกำลังมากกว่า 2

เราอาจพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในกรณีที่ n = 4 และกรณีที่ n เป็นจำนวนเฉพาะ ก็สามารถสรุปได้ว่าทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับทุกค่า n.

แฟร์มาได้พิสูจน์กรณี n = 4, ออยเลอร์ พิสูจน์กรณี n = 3, ดิลิชเลต และ เลอจองดร์ พิสูจน์กรณี n = 5 เมื่อ ค.ศ. 1828, Gabriel Lamé พิสูจน์กรณี n = 7 เมื่อ ค.ศ. 1839

ใน ค.ศ. 1983 Gerd Faltings ได้พิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของ Mordell สำเร็จ ซึ่งกล่าวว่าสำหรับ n > 2 จะมีจำนวนเต็ม a, b และ c ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน และทำให้ aⁿ + bⁿ = cⁿ อยู่จำนวนจำกัด

แอนดรูว์ ไวลส์ (Andrew Wiles) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษจากมหาวิทยาลัยแคมบริดจ์ ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา โดยใช้เครื่องมือในการพิสูจน์คือ เรขาคณิตเชิงพีชคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในเรื่องเส้นโค้งเชิงวงรี และ รูปแบบมอดุลาร์ ไวลส์ใช้เวลา 7 ปีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา เขาทำการพิสูจน์โดยลำพัง และเก็บเรื่องนี้เป็นความลับมาโดยตลอด (ยกเว้น ตอนตรวจทานครั้งสุดท้าย ซึ่งเขาได้ขอความช่วยเหลือจากเพื่อนของเขาที่ชื่อ Nick Katz) ในวันที่ 21-23 มิถุนายน ค.ศ. 1993 เขาก็ได้แสดงบทพิสูจน์ของเขาที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ผู้เข้าฟังการบรรยายครั้งนั้นต่างก็ประหลาดใจไปกับวิธีการต่างๆ ในบทพิสูจน์ของเขา ต่อมา เขาก็พบข้อผิดพลาดในบทพิสูจน์ ไวลส์และ ริชาร์ด เทย์เลอร์ (Richard Taylor) ลูกศิษย์ของเขาเองใช้เวลาอยู่หนึ่งปีในการแก้ไขบทพิสูจน์ใหม่ ในเดือนกันยายน ค.ศ. 1994 เขาก็ได้เสนอบทพิสูจน์ใหม่อีกครั้งที่ผ่านการแก้ไขแล้ว และตีพิมพ์ลงในวารสาร^[2][6]

นี่คือข้อความที่แฟร์มาเขียนไว้บนหน้ากระดาษหนังสือ Arithmetica:

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exigitas non caperet.

(มันเป็นไปไม่ได้ที่จะแบ่งจำนวนยกกำลัง 3 ออกเป็นจำนวนยกกำลัง 3 สองจำนวน หรือแบ่งจำนวนยกกำลัง 4 ออกเป็นจำนวนยกกำลัง 4 สองจำนวน หรือกล่าวโดยทั่วไปว่า ไม่สามารถแบ่งจำนวนที่ยกกำลังมากกว่า 2 ออกเป็นจำนวนที่ยกกำลังเท่าเดิมสองจำนวนได้ ฉันมีบทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์สำหรับบทสรุปนี้ แต่ขอบกระดาษนี้มีพื้นที่น้อยเกินกว่าที่จะเขียนบรรยายได้)

หลายคนต่างสงสัยใน "บทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์" ของแฟร์มาว่ามันมีอยู่จริงหรือไม่ บทพิสูจน์ของไวลส์นั้น หนาประมาณ 200 หน้า และยากเกินกว่าที่นักคณิตศาสตร์ในปัจจุบันจะเข้าใจ ในขณะที่บทพิสูจน์ของแฟร์มาน่าจะใช้วิธีที่พื้นฐานมากกว่านี้ เนื่องจากข้อจำกัดด้านความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์ในสมัยนั้น ซึ่งก็เป็นเหตุให้นักคณิตศาสตร์และนักประวัติศาสตร์ที่เชี่ยวชาญด้านวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ก็ยังไม่ค่อยเชื่อว่าแฟร์มาจะมีบทพิสูจน์ที่ถูกต้องสำหรับเลขยกกำลัง n ทุกจำนวนจริงๆ

แอนดรูส์ ไวลส์ เองก็เคยให้สัมภาษณ์ไว้ว่าเขาไม่เชื่อว่าแฟร์มาจะมีบทพิสูจน์ที่ถูกต้องจริง

I don’t believe Fermat had a proof. I think he fooled himself into thinking he had a proof. But what has made this problem special for amateurs is that there’s a tiny possibility that there does exist an elegant seventeenth century proof.^[7]

(ผมไม่เชื่อว่าแฟร์มาจะมีบทพิสูจน์ที่ถูกต้องจริง ผมคิดว่าเขาหลอกให้ตัวเองเชื่อว่าเขามีบทพิสูจน์นั้น แต่สิ่งที่ทำให้โจทย์ข้อนี้เป็นเรื่องพิเศษสำหรับนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นก็คือ มันทำให้เกิดความหวังว่า ยังมีโอกาสที่จะค้นพบบทพิสูจน์อันสวยงามได้โดยใช้เพียงความรู้คณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17)

• ข้อความคาดการณ์ของออยเลอร์
• สมมติฐานของรีมันน์

• Stewart, Ian; Tall, David. Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem. CRC PRESS. ISBN 9780367658717.
• Saitō, Takeshi. Fermat’s Last Theorem: The Proof. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9849-9.
• "Fermat's last theorem". Encyclopedia of Mathematics.