ในทางเรขาคณิต รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คือรูปสี่เหลี่ยม ชนิดหนึ่งที่มีด้านตรงข้ามขนานกันจำนวนสองคู่ ในบริบทของเรขาคณิตแบบยูคลิด ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีความยาวเท่ากัน และมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน ความสมนัยของด้านตรงข้ามและมุมตรงข้ามเป็นผลทางตรงจากสัจพจน์เส้นขนานแบบยูคลิด (Euclidean Parallel Postulate) นั่นคือไม่มีเงื่อนไขอันใดที่สามารถพิสูจน์โดยไม่อ้างถึงสัจพจน์เส้นขนานแบบยูคลิดหรือบทบัญญัติเทียบเท่า
รูปทรงที่คล้ายกันในสามมิติคือทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นเส้นขนาน (โดยนิยาม) หมายความว่าเมื่อต่อด้านออกไปจะไม่บรรจบกัน
ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน
มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีขนาดเท่ากัน
มุมภายในที่อยู่ติดกันรวมกันเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก (รวมกันได้ 180°)
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นสองเท่าของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการแบ่งด้วยเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้น
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานก็ยังเท่ากับขนาดของผลคูณไขว้ ของเวกเตอร์ ของด้านที่อยู่ติดกัน
เส้นทแยงมุม ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่ง ซึ่งกันและกันเส้นตรงใด ๆ ที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งครึ่งพื้นที่พอดี [ 1]
การแปลงสัมพรรค (affine transformation) ที่ไม่ใช่ภาวะลดรูป ทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานอีกรูปหนึ่ง การแปลงสัมพรรคที่ทำให้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีเป็นจำนวนอนันต์รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีสมมาตรแบบหมุน (หรือสมมาตรเชิงวงกลม ) ในอันดับสอง (หมุนครั้งละ 180°) และถ้ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีสมมาตรแบบสะท้อน สองแกน แสดงว่ามันคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน หรือไม่ก็รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
เส้นรอบรูป ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากับ 2 (a + b ) เมื่อ a และ b คือความยาวของด้านที่อยู่ติดกันผลรวมของกำลังสองของด้านทั้งสี่ เท่ากับผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมทั้งสอง [ 2] กฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD การพิสูจน์ว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน กระทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทรูปสามเหลี่ยมสมภาค (เท่ากันทุกประการ) ดังนี้
∠
A
B
E
≅
∠
C
D
E
{\displaystyle \angle ABE\cong \angle CDE}
∠
B
A
E
≅
∠
D
C
E
{\displaystyle \angle BAE\cong \angle DCE}
เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นมุมที่เกิดจากเส้นตรงที่ลากผ่านเส้นขนาน AB และ DC
นอกจากนี้ ด้าน AB ก็ยาวเท่ากับ DC เนื่องจากด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน
เพราะฉะนั้นรูปสามเหลี่ยม ABE กับรูปสามเหลี่ยม CDE เท่ากันทุกประการด้วยสัจพจน์ มุม-ด้าน-มุม ดังนั้นจะได้
A
E
=
C
E
{\displaystyle AE=CE\,}
B
E
=
D
E
{\displaystyle BE=DE\,}
เนื่องจากเส้นทแยงมุม AC กับ BD ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเท่ากันในแต่ละเส้น จึงสรุปว่าเส้นทแยงมุมทั้งสองแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแสดงด้วยสีฟ้า พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามที่ปรากฏในภาพ (แสดงด้วยสีฟ้า) คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดหักออกด้วยพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูป (แสดงด้วยสีส้ม) เนื่องจากพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากคือ
A
rect
=
(
B
+
A
)
×
H
{\displaystyle A_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,}
และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปคือ
A
tri
=
1
2
A
×
H
{\displaystyle A_{\text{tri}}={\frac {1}{2}}A\times H\,}
ดังนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับ
A
r
e
a
=
A
rect
−
2
×
A
tri
=
(
(
B
+
A
)
×
H
)
−
(
A
×
H
)
=
B
×
H
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} &=A_{\text{rect}}-2\times A_{\text{tri}}\\&=\left((B+A)\times H\right)-\left(A\times H\right)\\&=B\times H\\\end{aligned}}}
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านสองด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากับ a และ b และทำมุม θ สูตรพื้นที่อีกสูตรหนึ่งคือ
Area
=
a
b
sin
θ
{\displaystyle {\text{Area}}=ab\sin \theta \,}
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านสองด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากับ a และ b โดยที่ a ≠ b และเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นตัดกันทำมุม γ คำนวณได้จากสูตรนี้ [ 3]
Area
=
|
tan
γ
|
2
⋅
|
a
2
−
b
2
|
{\displaystyle {\text{Area}}={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|}
กำหนดให้ a และ b เป็นเวกเตอร์ ในปริภูมิสองมิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสองสามารถคำนวณได้จาก
V
=
[
a
1
a
2
b
1
b
2
]
;
Area
=
|
det
(
V
)
|
=
|
a
1
b
2
−
a
2
b
1
|
{\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\;;{\text{Area}}=|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|}
กำหนดให้ a และ b เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิ n มิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสองสามารถคำนวณได้จาก
V
=
[
a
1
a
2
…
a
n
b
1
b
2
…
b
n
]
;
Area
=
det
(
V
V
T
)
{\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\;;{\text{Area}}={\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}}
กำหนดให้จุด a , b , c เป็นจุดในปริภูมิสองมิติ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากจุดยอดทั้งสามสามารถคำนวณได้ดังนี้
V
=
[
a
1
a
2
1
b
1
b
2
1
c
1
c
2
1
]
;
Area
=
|
det
(
V
)
|
{\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{bmatrix}}\;;{\text{Area}}=|\det(V)|}
↑ Dunn, J. A., and J. E. Pretty, "Halving a triangle", Mathematical Gazette 56, May 1972, p. 105.
↑ Posamentier, Alfred S., and Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry , Dover, second edition, 1996: p. 217, item 10-5.
↑ Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral", Mathematical Gazette , July 2009.
รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มด้านขนาน รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มอื่น ๆ รูปสี่เหลี่ยมอื่น ๆ
